Nos Exercícios 80, prove ou dê um exemplo que mostre que a afirmação é verdadeira ou falsa. (a) Prove que, se um gráfico é simétrico em relação ao ...

Para provar que um gráfico é simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y, então é simétrico em relação à origem, podemos usar a definição de simetria. Se um ponto (x, y) está no gráfico, então o ponto (-x, y), (x, -y) e (-x, -y) também devem estar no gráfico. Isso ocorre porque a simetria em relação ao eixo x inverte o sinal de y, enquanto a simetria em relação ao eixo y inverte o sinal de x. A simetria em relação à origem inverte ambos os sinais. Para mostrar que a recíproca não é verdadeira, podemos dar um exemplo de um gráfico que é simétrico em relação à origem, mas não é simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y. Um exemplo é o gráfico da função f(x) = |x|. Esse gráfico é simétrico em relação à origem, mas não é simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y. Para provar que, se um gráfico é simétrico em relação a um eixo e à origem, então é simétrico com respeito ao outro eixo, podemos usar a mesma definição de simetria. Se um ponto (x, y) está no gráfico, então o ponto (-x, y), (x, -y) e (-x, -y) também devem estar no gráfico. Isso ocorre porque a simetria em relação à origem inverte ambos os sinais, enquanto a simetria em relação a um eixo inverte apenas um sinal. Portanto, se um gráfico é simétrico em relação a um eixo e à origem, então é simétrico com respeito ao outro eixo.