) Existem dois planos π1 e π2 tais que cada um cont´em a reta t : X = (−1, 4, 0) + λ(1, 2, 3) e forma ˆangulos congruentes com as retas r : X = (0,...

Para encontrar a medida angular entre os planos π1 e π2, precisamos encontrar o ângulo entre as normais desses planos. A reta t tem direção (1, 2, 3), então um vetor normal ao plano que contém t é dado pelo produto vetorial entre (1, 2, 3) e um vetor diretor de r, por exemplo, (1, 1, 1): n1 = (1, 2, 3) x (1, 1, 1) = (-1, 2, -1) Da mesma forma, podemos encontrar um vetor normal ao plano que contém t e s: n2 = (1, 2, 3) x (1, 1, -1) = (-5, 4, -1) A medida angular entre dois vetores u e v é dada por: cos θ = (u . v) / (||u|| ||v||) onde . é o produto escalar e || || é a norma do vetor. Portanto, o cosseno do ângulo entre os planos π1 e π2 é: cos θ = (n1 . n2) / (||n1|| ||n2||) Substituindo os valores, temos: cos θ = (-1)(-5) + 2(4) + (-1)(-1) / sqrt(6) sqrt(42) = 3 / (sqrt(2) sqrt(14)) Usando a calculadora, encontramos: cos θ ≈ 0,536 Finalmente, podemos encontrar o ângulo θ usando a função inversa do cosseno: θ ≈ 57,2° Portanto, a medida angular entre os planos π1 e π2 é de aproximadamente 57,2 graus.