Considere os planos π1 : x + 2y + 2z = 0 e π2 : 2x − 3y + 2z = 1. Decida se os planos π1 e π2 são paralelos ou concorrentes. Caso, sejam paralelos...

Os planos π1 : x + 2y + 2z = 0 e π2 : 2x − 3y + 2z = 1 são concorrentes. Para encontrar a equação da reta de interseção entre eles, podemos igualar as equações dos planos e resolver o sistema: x + 2y + 2z = 0 2x − 3y + 2z = 1 Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da segunda, temos: 3x - 7y = 1 Podemos escolher uma das variáveis (y, por exemplo) e escrevê-la em função das outras duas: y = (3x - 1)/7 Substituindo essa equação em uma das equações dos planos, podemos encontrar o valor da outra variável. Vamos escolher a primeira equação: x + 2y + 2z = 0 Substituindo y, temos: x + 2(3x - 1)/7 + 2z = 0 Simplificando, temos: 7x + 6z - 2 = 0 Podemos escrever a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos, considerando z como parâmetro: x = (2 - 6z)/7 y = (3x - 1)/7 = (6 - 18z)/49 - 1/7 = (6 - 18z - 7)/49 z = z Simplificando, temos: x = (2 - 6z)/7 y = (-18z - 1)/49 z = z Portanto, a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos é: r: (x, y, z) = ((2 - 6t)/7, (-18t - 1)/49, t) Para encontrar a distância entre os planos, podemos usar a fórmula: d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) Onde (a, b, c) é o vetor normal aos planos e (x0, y0, z0) é um ponto em um dos planos (por exemplo, o ponto (0, 0, 0) no plano π1). O vetor normal ao plano π1 é (1, 2, 2) e o vetor normal ao plano π2 é (2, -3, 2). Escolhendo o ponto (0, 0, 0) no plano π1, temos: d = |1*0 + 2*0 + 2*0 + 0| / sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = 0 / sqrt(9) = 0 Portanto, a distância entre os planos é zero, o que significa que eles são coincidentes.