4 - Retas, Planos e Distancias - Parte II

Prévia do material em texto

1.
		A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por:
	
	
	
	2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
	
	- 2x - 3y - 4z - 9 = 0
	
	
	2x - 4y - 3z - 9 = 0
	
	
	3x - 4y + 5z - 11 = 0
	
	
	x + y + z = 0
	
Explicação:
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4)
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t.
	
	
	
	-3x - 2y + z - 3 = 0
	
	
	3x + 3y - z + 6 = 0
	
	
	2x + 2y + z - 2 = 0
	
	
	3x + 2y + z - 6 = 0
	
	
	2x + 3y + z - 6 = 0
	
Explicação:
O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0, temos:
3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2)  = 0, resultando na equação:
3x + 2y + z - 6 = 0 .
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A reta r:⎧⎨⎩x=5+2ty=2−tz=1+3t{x=5+2ty=2−tz=1+3té ortogonal ao plano ππ que passa pelo ponto A(1,3,4). A equação geral  de ππ será:
	
	
	
	5x+2y+z+6=05x+2y+z+6=0
	
	
	x+3y+4z+5=0x+3y+4z+5=0
	
	
	2x−y+3z+11=02x−y+3z+11=0
	
	
	x−3y+4z+2=0x−3y+4z+2=0
	
	
	2x−y+5z+3=02x−y+5z+3=0
	
Explicação:
Vetor diretor da reta r é (2,-1,3)
Como r é perpendicular a ππ , qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. Assim a equação de π é da forma:
π: 2x-y+3z+d =0
Como A∈π  2(1)-1(3)+3(4)+d =0  
2-3+12 d=11
π: 2x-1y+3z+11=0
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por:
	
	
	
	x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	x = 2 + 3h + t
y = - 2h - 2t
z = -2 + h + 8t
	
	
	x = 3h + t
y = 2h - 2t
z = 6h + 8t
	
	
	x =3h + t
y = 2h + t
z = -2 + 6h + 8t
	
Explicação:
Determinamos os vetores diretores do plano:
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6)
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8)
Logo, as equações paramétricas serão:
x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v.  
	
	
	
	r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t
	
	
	r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t
	
	
	r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t
	
	
	r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t
	
	
	r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t
	
Explicação:
Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos:
r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calcule a distância entre as retas:
r: X = (1,  0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2  = z - 3.
	
	
	
	√423423
	
	
	9
	
	
	√423423
	
	
	403403
	
	
	√403403
	
Explicação:
Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então:
d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é ortogonal a →vv→, será:
	
	
	
	3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0
	
	
	2x+y−z+9=02x+y−z+9=0
	
	
	3x+y−z+9=03x+y−z+9=0
	
	
	2x+y−z−9=02x+y−z−9=0
	
	
	x−y−z+9=0x−y−z+9=0
	
Explicação:
π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0
Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0    6+2+1+d=0    9+d=0   d=-9
2x+y−z−9=0