As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a bio...

Para determinar a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2, sabendo que a densidade do sólido é ρ(x,y,z) = (x,y,z) = 2x³, podemos utilizar a fórmula da integral tripla para calcular a massa: M = ∭ρ(x,y,z) dV Onde dV é o elemento de volume, que pode ser expresso como dV = dx dy dz. Assim, temos: M = ∭ρ(x,y,z) dV M = ∭2x³ dx dy dz, onde a integração é realizada sobre o sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2, no primeiro octante. Podemos integrar primeiro em relação a x, de 0 a 2 - y - z, depois em relação a y, de 0 a 2 - z, e por fim em relação a z, de 0 a 2. Assim, temos: M = ∫[0,2] ∫[0,2-z] ∫[0,2-y-z] 2x³ dx dy dz M = ∫[0,2] ∫[0,2-z] [(1/2)2x⁴] [0,2-y-z] dy dz M = ∫[0,2] [(1/10)(2-z)⁵] [0,2-z] dz M = (1/10) ∫[0,2] (2-z)⁵ dz M = (1/10) [(1/6)(2-z)⁶] [0,2] M = (1/10) [(1/6)2⁶ - (1/6)0⁶] M = (1/10) [(1/6)64] M = (1/15)64 M = 256/15 Portanto, a massa do sólido é 256/15.

REPERTÓRIO PROFISSIONAL Descrição A empresa Hight LTDA. possui duas frentes de trabalho. A primeira é a fabricação de aviões de transporte de passageiros e de carga e a segunda é a fabricação de drones, com foco em apresentações aéreas. No momento, a empresa está lidando com duas situações específicas: 1 - Realizando testes com drones que foram encomendados por outra empresa. 2- Verificação de uma emergência, tendo em vista que um avião vendido pela empresa fez um pouso de emergência e foi enviado uma equipe para o local. Nesta atividade serão aplicados os conceitos de soma vetorial, design do módulo, direção e sentido do vetor resultante, produto escalar, vetorial e misto; equações paramétricas e simétricas da reta; retas paralelas e perpendiculares; interseção entre duas retas; descoberta do plano. Pode ser consultado o material de estudo da disciplina (Unidades 1, 2, 3 e 4), a bibliografia recomendada no plano de ensino e material na internet. A empresa está programando os drones para uma apresentação que irá formar imagens no céu. Devem ser verificados se os drones estão descrevendo trajetórias paralelas, ortogonais e no mesmo plano e que não irão colidir no ar. Serão testados três drones. A figura, a seguir, ilustra o drone 1, com vetor velocidade descrita pelo vetor v ⃗_1=(-2,2,4)m/s, e um ponto P (6,2,6) da sua trajetória. Os drones 2 e 3 não estão aparecendo na figura. Os drones estão descrevendo trajetórias retilíneas e com vetor velocidade constante. Considere a distância medida em metro e o tempo em segundo. Os vetores (vetores diretores) dos drones 2 e 3 são v ⃗_2(4,2,1)m/sev ⃗_3(−4,4,8)m/s, respectivamente. Com base nas informações sobre os drones, devem ser respondidas as seguintes questões: A- Escreva as equações de movimento (equações paramétricas) da reta que descreve a trajetória do drone 1. B - Calcule o produto conjunto entre os vetores diretores v ⃗_1,v ⃗_2 ev ⃗_3para verificar se os drones estão no mesmo plano. C - Utilize o produto escalar para verificar se as trajetórias entre os drones 1 e 2 e 1 e 3 são ortogonais. D - Aplique o produto vetorial para verificar se as trajetórias entre os drones 1 e 3 e 2 e 3 são paralelas. E - Use o vetor ortogonal encontrado no item C) para escrever a pesquisa geral do plano do drone 1. F - Sabendo que as equações paramétricas da trajetória do drone 2 são: - x=4+4h y= 4+2h z= 10 +h P (6,2,6)