Sabendo que \( \tan(x) = \frac{12}{5} \) e que \( \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} \), estamos no terceiro quadrante, onde tanto o seno quanto o cosseno são negativos. 1. Encontrando o seno e o cosseno: - Usamos a relação \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \). - Se \( \tan(x) = \frac{12}{5} \), podemos considerar um triângulo retângulo onde o cateto oposto (seno) é 12 e o cateto adjacente (cosseno) é 5. - A hipotenusa \( h \) é dada por \( h = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \). 2. Calculando seno e cosseno: - \( \sin(x) = -\frac{12}{13} \) (negativo no terceiro quadrante) - \( \cos(x) = -\frac{5}{13} \) (negativo no terceiro quadrante) 3. Analisando as alternativas: - a) \( \cotg(x) = -\frac{5}{12} \) (correta, pois \( \cotg(x) = \frac{1}{\tan(x)} = -\frac{5}{12} \)) - b) \( sec(x) = \frac{13}{5} \) (incorreta, pois \( sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} = -\frac{13}{5} \)) - c) \( cos(x) = -\frac{5}{13} \) (correta) - d) \( sen(x) = \frac{12}{13} \) (incorreta, pois \( sen(x) = -\frac{12}{13} \)) - e) nenhuma anterior é correta (incorreta, pois temos alternativas corretas) As alternativas corretas são a) e c). Como a pergunta pede uma única resposta, a melhor escolha é a) cotg(x) = -5/12, pois é a primeira alternativa correta apresentada.