Considere todos os anagramas da palavra DIPLOMATA que começam e terminam pela letra A. Quantos desses anagramas têm todas as consoantes juntas? a...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Princípio da Casa dos Pombos. Primeiro, vamos contar quantos anagramas da palavra DIPLOMATA começam e terminam com a letra A. Temos 2 letras A na palavra, então temos 2 opções para a primeira letra e 1 opção para a última letra. Portanto, temos 2 x 1 = 2 possibilidades. Agora, vamos contar quantos anagramas da palavra DIPLOMATA têm todas as consoantes juntas. Podemos considerar as 5 consoantes como uma única letra. Então, temos 5 + 1 = 6 letras para permutar. No entanto, as vogais I e O são repetidas, então precisamos dividir por 2! duas vezes. Portanto, temos 6! / (2! x 2! x 2!) = 180 anagramas. Agora, precisamos contar quantos desses anagramas têm todas as consoantes juntas. Podemos considerar as 5 consoantes como uma única letra novamente. Então, temos 2 vogais (I e O) e 2 grupos de 2 consoantes (DPL e MT). Podemos permutar esses grupos de consoantes de 2 maneiras: DPLMT ou MTDPL. E podemos permutar as vogais de 2 maneiras: IO ou OI. Portanto, temos 2 x 2 = 4 anagramas com todas as consoantes juntas. Finalmente, a resposta correta é a letra A) 180.