Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x3 + x2 – 6x, analise as opções:

I. Possui dois pontos críticos.
II. Tem máximo em x = 0.
III. Em x = -2, a concavidade é voltada para baixo.
IV. Existe apenas um ponto de inflexão em x = -1/3.

quais estão corretas

Question

Quanto ao gráfico da função f: R → R definida por f(x) = x3 + x2 – 6x, analise as opções:

I.   Possui dois pontos críticos.
II.  Tem máximo em x =...

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa sobre a função $ f(x) = x^3 + x^2 - 6x $:

1. **Encontrar a derivada**: Para determinar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função:
   $$
   f'(x) = 3x^2 + 2x - 6
   $$
   Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
   $$
   3x^2 + 2x - 6 = 0
   $$
   Usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6)}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 72}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{3}
   $$
   Portanto, existem **dois pontos críticos**.

2. **Máximo em $ x = 0 $**: Para verificar se há um máximo em $ x = 0 $, precisamos calcular a segunda derivada:
   $$
   f''(x) = 6x + 2
   $$
   Avaliando em $ x = 0 $:
   $$
   f''(0) = 6(0) + 2 = 2 > 0
   $$
   Isso indica que $ x = 0 $ é um ponto de mínimo, não máximo. Portanto, essa afirmativa é **falsa**.

3. **Concavidade em $ x = -2 $**: Avaliando a segunda derivada em $ x = -2 $:
   \[
   f''(-2) = 6(-2) + 2 = -12 + 2 = -10

Ed · Answer

As opções corretas são:

I. Possui dois pontos críticos.
III. Em x = -2, a concavidade é voltada para baixo.

Explicação:
I. Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar as raízes da primeira derivada da função. Derivando f(x), temos: f'(x) = 3x² + 2x - 6. Igualando a derivada a zero, temos: 3x² + 2x - 6 = 0. Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas raízes: x = -2 e x = 1. Portanto, a opção I está correta.

II. Para encontrar o máximo da função, precisamos encontrar as raízes da segunda derivada da função. Derivando f'(x), temos: f''(x) = 6x + 2. Igualando a derivada a zero, temos: 6x + 2 = 0. Resolvendo a equação, encontramos x = -1/3. Como a segunda derivada é positiva para todo x, temos que x = -1/3 é um ponto de mínimo da função, e não de máximo. Portanto, a opção II está incorreta.

III. Para analisar a concavidade da função, precisamos analisar o sinal da segunda derivada. Como f''(x) = 6x + 2 é positiva para x  -2, temos que a concavidade é voltada para baixo em x = -2. Portanto, a opção III está correta.

IV. Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar as raízes da segunda derivada da função. Como já encontramos que f''(x) = 6x + 2, basta igualarmos a segunda derivada a zero e resolvermos a equação: 6x + 2 = 0. Encontramos x = -1/3, que é um ponto de mínimo da função, e não de inflexão. Portanto, a opção IV está incorreta.

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