As três semicircunferências da fi gura abaixo tangenciam a circunferência de centro F e raio r. Sabe-se que C, D e A são os centros das três semici...

A medida de r é igual a ????3. Para resolver esse problema, podemos usar a propriedade de que a tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que passa pelo ponto de tangência. Seja x a medida do raio de cada semicircunferência. Como as semicircunferências são tangentes à circunferência de centro F e raio r, temos que: FC = FD = FA = r - x A partir daí, podemos usar o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos CFD, DAF e ACF: (CD/2)² + x² = (r - x)² (AD/2)² + x² = (r - x)² (AC/2)² + x² = (r - x)² Como CD = AD = AC = 2x, podemos simplificar as equações acima para: 4x² + x² = (r - x)² 4x² + x² = (r - x)² 4x² + x² = (r - x)² Somando as três equações, temos: 12x² + 3x² + 3x² = 3r² - 6rx + 3x² Simplificando, obtemos: 18x² = 3r² - 6rx Dividindo por 3x², temos: 6 = r/x - 2 Como r/x = 2 + 6/3, temos que r/x = 4. Substituindo na equação acima, obtemos: 6 = 4x - 2 x = ????3/2 Substituindo na equação r/x = 2 + 6/3, obtemos: r/x = 4 r = 4x r = 4(????3/2) r = ????3 Portanto, a resposta correta é a alternativa a) ????3.