5) Suponha que T (x, y) = 40 − x2 − 2y2 represente uma distribuição de temperatura no plano xy.(Admita que x e y sejam dados em km e a temperatura ...

a) O lugar geométrico dos pontos que ele deverá percorrer para desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto (3, 2) é uma elipse centrada no ponto (3, 2). A equação da elipse é dada por: (x - 3)²/16 + (y - 2)²/8 = 1 b) A direção e sentido que ele deverá tomar para caminhar na direção de maior crescimento da temperatura é o gradiente da função T(x, y) no ponto (3, 2), que é dado por: grad T(3, 2) = (-6, -8) Ou seja, ele deve caminhar na direção oposta a (-6, -8), que é (6, 8). c) Para calcular a variação aproximada da temperatura, devemos calcular o produto escalar entre o gradiente de T(3, 2) e o vetor unitário na direção encontrada no item b, multiplicado por 0,01 km: ΔT ≈ grad T(3, 2) . (6/10, 8/10) . 0,01 ΔT ≈ (-6, -8) . (0,6, 0,8) . 0,01 ΔT ≈ -0,1 oC Portanto, a temperatura se elevará aproximadamente 0,1 oC. d) Para calcular a variação aproximada da temperatura, devemos calcular o produto escalar entre o gradiente de T(3, 2) e o vetor unitário na direção (-→j), multiplicado por 0,01 km: ΔT ≈ grad T(3, 2) . (0, 1) . 0,01 ΔT ≈ (-6, -8) . (0, 1) . 0,01 ΔT ≈ -0,08 oC Portanto, a temperatura decrescerá aproximadamente 0,08 oC.