8) Seja g(x, y) = (x^2 + y^2)f(u, v), onde u = 2x− y e v = x+ 2y. Mostre que ∂g/∂x = 2xf(u, v) + (x^2 + y^2)[2∂f/∂u + ∂f/∂v].

Para resolver essa questão, podemos utilizar a regra da cadeia para derivadas parciais. Começando com a expressão para g(x, y), temos: g(x, y) = (x^2 + y^2)f(u, v) Onde u = 2x - y e v = x + 2y. Agora, vamos calcular a derivada parcial de g em relação a x, mantendo y constante: ∂g/∂x = 2x f(u, v) + (x^2 + y^2) ∂f/∂u * ∂u/∂x + (x^2 + y^2) ∂f/∂v * ∂v/∂x Derivando u em relação a x, temos: ∂u/∂x = 2 Derivando v em relação a x, temos: ∂v/∂x = 1 Substituindo na expressão acima, temos: ∂g/∂x = 2x f(u, v) + (x^2 + y^2) * 2 * ∂f/∂u + (x^2 + y^2) * ∂f/∂v Simplificando, temos: ∂g/∂x = 2xf(u, v) + (x^2 + y^2)[2∂f/∂u + ∂f/∂v] Portanto, a expressão dada na questão está correta.