Lista 05

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Lista 5 - Cálculo II
1) Calcule
dz
dt
pelos dois processos.
a)z = sin(xy), x = 3t e y = t2
b)z = x2 + 3y2, x = sin t e y = cos t
c)z = ln(1 + x2 + y2), x = sin(3t) e y = cos(3t)
2) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1).
a) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f .
b) Calcule g′(0) admitindo
∂f
∂x
(0,−1) = 1
3
.
3) Suponha que, para todo x, f(3x, x3) = arctgx.
a) Calcule
∂f
∂x
(3, 1) admitindo
∂f
∂y
(3, 1) = 2.
b) Determine a equação do plano tangente ao grá�co de f no ponto (3, 1, f(3, 1)).
4) Admita que, para todo (x, y).
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 2
Calcule g′(t), sendo g(t) = f(2 cos t, sin t).
5) Admita que, para todo (x, y).
4y
∂f
∂x
(x, y)− x∂f
∂y
(x, y) = 0.
Prove que f é constante sobre a elipse
x2
4
+ y2 = 1.
6) Prove que a função u = f(x+at, y+ bt), a e b constantes, é solução da equação a derivadas parciais
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
.
7) Seja g dada por g(t) = f(x, y) sin(3t), onde x = 2t e y = 3t. Veri�que que
g′(t) = 3f(x, y) cos(3t) + sin(3t)
[
2
∂f
∂x
(x, y) + 3
∂f
∂y
(x, y)
]
,
onde x = 2t e y = 3t.
8) Seja g(x, y) = (x2 + y2)f(u, v), onde u = 2x− y e v = x+ 2y. Mostre que
∂g
∂x
= 2xf(u, v) + (x2 + y2)
[
2
∂f
∂u
+
∂f
∂v
]
.
9) f(t) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que g(t, f(t)) = 0, para todo t. Suponha f(0) =
1,
∂g
∂x
(0, 1) = 2 e
∂g
∂y
(0, 1) = 4. Determine a equação da reta tangente a γ(t) = (t, f(t)), no ponto γ(0).
10) f(x, y, z) e g(x, y) são funções diferenciáveis tais que, para todo (x, y) no domínio de g, f(x, y, g(x, y)) =
0. Suponha g(1, 1) = 3,
∂f
∂x
(1, 1, 3) = 2,
∂f
∂y
(1, 1, 3) = 5 e
∂f
∂z
(1, 1, 3) = 10. Determine a equação do plano
tangente ao grá�co de g no ponto (1, 1, 3).
11) Seja f(x, y) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A. Prove:
a) a
∂f
∂x
(at, bt) + b
∂f
∂y
(at, bt)λtλ−1f(a, b) pata todo t > 0 e para todo (a, b) ∈ A, com (at, bt) ∈ A.
b) (Relação de Euler) Conclua de a) que
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= λf.
12) Seja f(x, y) de�nida e diferenciável na bola aberta A. Suponha que f veri�ca em A a relação de
Euler
x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
(x, y) = λf(x, y).
Prove que f é homogênea de grau λ.
13) Seja φ(u) uma função diferenciável qualquer. A função f(x, y) = x2φ
(
x
y
)
veri�ca a relação de
Euler x
∂f
∂x
(x, y) + y
∂f
∂y
= 2f? Por quê?
14) Determine uma família de funções que veri�que a equação x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
= 0
15) Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação x = F (x2 + y, y2),
onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse
dy
dx
em termos de x, y e das derivadas parciais ed F .
16) A função diferenciável z = z(x, y) é dada impliciramente pela equação f
(
x
y
, z
)
= 0, onde f(u, v)
é suposta diferenciável e
∂f
∂v
(u, v) 6= 0. Veri�que que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= 0
17) A função diferenciável z = z(x, y) é dada implicitamente pela equação f
(
x
y
,
z
x4
)
= 0 (λ 6= 0 um
real �xo), onde f(u, v) é suposta diferenciável e
∂f
∂v
(u, v) 6= 0. Veri�que que
x
∂z
∂x
+ y
∂z
∂y
= λz
18) Suponha que as funções diferenciáveis y = y(x) e z = z(x) sejam dadas implicitamente pelo
sistema  x
2 + z2 = 1
y2 + z2 = 1
a) Expresse
dy
dx
e
dz
dx
em termos de x, y e z.
b) Determine uma par de funções y = y(x) e z = z(x) dadas implicitamente pelo sistema.
19) Sejam u = x+ y e v =
y
x
. Calcule o determinante jacobiano
∂(u, v)
∂(x, y)
.
20) É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ(t0) = (1, 3) e cuja imagem está contida na curva de
nível x2 + y2 = 10. Suponha γ′(t0) 6=
−→
0 .
a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (1, 3).
b) Determine uma curva γ(t) satisfazendo as condições acima.
21) Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.
a)x2 + xy + y2 − 3y = 1 em (1, 2) b)e2x−y + 2x+ 2y = 4 em ( 12 , 1)
22) Determine uma reta que seja tangente à elipse 2x2 + y2 = 3 e paralela à reta 2x+ y = 5.
23) Determine uma função z = f(x, y) tal que
∂f
∂x
= 2
∂f
∂y
e cujo grá�co contenha a imagem da curva
γ(t) = (t, t, t2), t ∈ R.
24) Determine uma função y = y(x) cujo grá�co intercepte ortogonalmente as curvas da família
xy = c, com x > 0 e y > 0, e tal que
a)y(1) = 1 b)y(1) = 2
25) Seja z = f(x, y) diferenciável em R2 e tal que ∇f(x, y) = g(x, y)(x, y), para todo (x, y) ∈ R2,
onde g(x, y) é uma função de R2 em R dada.
a) Com argumentos geométricos, veri�que que é razoável esperar que f seja constante sobre cada
circunferência de centro na origem.
b) Prove que f é constante sobre cada circunferência de centro na origem.
26) Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado.
a)x2 + 3y2 + 4z2 = 8 em (1,−1, 1) b)zex−y + z3 = 2 em (2, 2, 1).
27) Determine um plano que seja tangente à superfície x2 + 3y2 + 2z2 = 116 e paralelo ao plano
x+ y + z = 10.
28) A imagem da curva γ(t) está contida na interseção da supefície cilíndrica x2 + y2 = 2 com a
superfície esférica x2 + y2 + z2 = 3. Suponha γ(t0) = (1, 1, 1) e γ′(t0) 6= 0.
a) Determine a reta tangente a γ em γ(t0).
b) Determine uma curva γ(t) satisfazendo as condições acima.
28) Considere a função z =
4
√
8 + x2 + y2
y
.
a) Determine uma função F (x, y, z), que não envolva radicais, tal que a função dada seja de�nida
implicitamente pela equação F (x, y, z) = 0.
b) Determine a equação do plano tangente ao grá�co da função dada no ponto (2, 2, 1).
29) São dados uma função f(x, y) = x2 + y2, um vetor unitário (a, b) e um real β > 2. Suponha
que (1 + sa, 1 + sb) e (1 + t√
2
, 1 + t√
2
), com s > 0 e t > 0, pertençam à curva de nível f(x, y) =
β.Compare a taxa média de variação de f entre os pontos (1, 1) e (1 + sa, 1 + sb) e entre os pontos (1, 1)
e (1 + t√
2
, 1 + t√
2
).(EXEMPLO 2, pág. 260 - GUIDORIZZI, Vol.2)