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(UFRJ – 2000) Sejam O = ( 0 , 0 ) , P = ( 5 , 2 ) e P' = ( 2 , 5 ) . Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P’. Determine cosq.


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Matematicamente

há 2 anos

Respostas

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há 5 meses

Para resolver essa questão, precisamos usar a relação entre os pontos P e P' após a rotação em torno da origem O. Os pontos são: - O = (0, 0) - P = (5, 2) - P' = (2, 5) A rotação de um ponto (x, y) em torno da origem por um ângulo θ é dada pelas fórmulas: - x' = x * cos(θ) - y * sin(θ) - y' = x * sin(θ) + y * cos(θ) Substituindo os valores de P e P': - Para P: (5, 2) se transforma em (2, 5). Assim, temos as seguintes equações: 1. 2 = 5 * cos(θ) - 2 * sin(θ) (1) 2. 5 = 5 * sin(θ) + 2 * cos(θ) (2) Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1): 2 = 5 * cos(θ) - 2 * sin(θ) => 5 * cos(θ) - 2 * sin(θ) = 2 (1) Da equação (2): 5 = 5 * sin(θ) + 2 * cos(θ) => 5 * sin(θ) + 2 * cos(θ) = 5 (2) Agora, podemos resolver esse sistema. Vamos isolar uma das variáveis. Da equação (1): 5 * cos(θ) = 2 + 2 * sin(θ) => cos(θ) = (2 + 2 * sin(θ)) / 5 (3) Substituindo (3) na equação (2): 5 * sin(θ) + 2 * ((2 + 2 * sin(θ)) / 5) = 5 Multiplicando tudo por 5 para eliminar o denominador: 25 * sin(θ) + 2 * (2 + 2 * sin(θ)) = 25 25 * sin(θ) + 4 + 4 * sin(θ) = 25 29 * sin(θ) = 21 sin(θ) = 21 / 29 Agora, usando a identidade fundamental: cos²(θ) + sin²(θ) = 1 cos²(θ) = 1 - (21/29)² cos²(θ) = 1 - 441/841 cos²(θ) = (841 - 441) / 841 cos²(θ) = 400 / 841 cos(θ) = ±√(400/841) cos(θ) = ±20/29 Como estamos girando no sentido anti-horário, consideramos o valor positivo: cos(θ) = 20/29. Portanto, a resposta é: cos(θ) = 20/29.

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há 2 anos

Para determinar o cosseno do ângulo q, podemos utilizar a fórmula: cos(q) = (OP . OP') / (|OP| . |OP'|) Onde: - OP é o vetor que liga O a P - OP' é o vetor que liga O a P' - |OP| é o módulo do vetor OP - |OP'| é o módulo do vetor OP' Podemos calcular os valores necessários: OP = (5, 2) OP' = (2, 5) |OP| = sqrt(5^2 + 2^2) = sqrt(29) |OP'| = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(29) Então, substituindo na fórmula: cos(q) = (OP . OP') / (|OP| . |OP'|) cos(q) = (5*2 + 2*5) / (sqrt(29) * sqrt(29)) cos(q) = 20 / 29 Portanto, o cosseno do ângulo q é 20/29.

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Simplifique as expressões abaixo:
a-) xsenxsenx/xsen^2cos^2
b-) xxsenx/xxsenxcoscos/coscos^2+3
c-) xsenxxsen/xsenxtg^2+2cos^2

(UFES – 2002). Os valores ℜ∈x , para os quais a expressão é o seno de um ângulo, são

a) x = 1/2
b) x = 1/3
c) x = 1/4
d) x = 1/5
e) x = 1/6

(UFBA – 1999) As expressões xxsenx/x^4 e (1 - cos^2x)/(1 + cosx) são equivalentes. Justifique.

Calcule o valor numérico de I tal que: ( ) ( ) º79cos30º63cos60cosº27cosº79º360cosº360cos4 22222 2 sen senI nn +− =

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