Seja a elipse E onde um dos focos é F = (−4, 3), um dos vértices focais é A = (1, −2) e a equação da reta não focal é LNF : x − y = −3. Cons...

(a) A reta focal da elipse E é a reta que passa pelos focos e pelos vértices focais. Podemos encontrar um vetor que liga o vértice focal A ao foco F, que é v⃗ = −→AF = (−5, 5). Como a reta focal é paralela a esse vetor, podemos usar a equação vetorial da reta para encontrar a equação cartesiana: x - 1 y + 2 ------ = ------ -5 5 Multiplicando ambos os lados por -5, temos: x - 1 = -y - 2 Reorganizando os termos, obtemos a equação cartesiana da reta focal: x + y = -1 (b) Para encontrar as coordenadas do centro, dos vértices não focais, do outro vértice focal e do outro foco, podemos usar as seguintes fórmulas: - O centro da elipse é o ponto médio entre os focos: C = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) - A distância entre os focos é d = 2c, onde c é a distância do centro a um dos focos. - A distância entre os vértices não focais é d = 2b, onde b é a distância do centro a um dos vértices não focais. - A distância entre os vértices focais é d = 2a, onde a é a distância do centro a um dos vértices focais. Usando as coordenadas dos focos F1 = (-4, 3) e F2 = (0, 3), podemos encontrar o centro da elipse: C = ((-4 + 0)/2, (3 + 3)/2) = (-2, 3) Usando a equação da reta focal LF : x + y = -1, podemos encontrar o outro vértice focal A2: x = 7 - y Substituindo na equação da reta, temos: 7 - y + y = -1 Logo, A2 = (7, -8) Usando a equação da reta não focal LNF : x - y = -3, podemos encontrar os vértices não focais B1 e B2: B1 = (-1, -4) e B2 = (-5, 0) Finalmente, podemos encontrar o outro foco F2 usando a distância entre os focos e a coordenada do foco conhecido: d = 2c = 2 * sqrt((1 - (-4))^2 + (-2 - 3)^2) = 10 F2 está localizado na reta que passa pelos focos e é perpendicular à reta focal. Podemos usar o vetor u⃗ = (5, 5) como o vetor perpendicular à reta focal e encontrar o vetor que liga F1 a F2: w⃗ = u⃗ / ||u⃗|| * d = (5/sqrt(50), 5/sqrt(50)) * 10 = (sqrt(500), sqrt(500)) Assim, F2 = F1 + w⃗ = (-4, 3) + (sqrt(500), sqrt(500)) = (0, 3 + sqrt(500))