13. Calcule a densidade linear e o fator de empacotamento linear nos sistemas: a) CS para a direção [011] e b) CCC para a direção [111], supondo li...

a) Para o sistema cristalino cúbico simples (CS), a densidade linear é dada por: d = 1 / (4 * a) Onde "a" é o comprimento da aresta da célula unitária. Para a direção [011], temos que a aresta da célula unitária é igual a: a = √(0² + 1² + 1²) * 4 Å = 4√2 Å Substituindo na fórmula da densidade linear, temos: d = 1 / (4 * 4√2 Å) = √2 / 32 Å⁻¹ O fator de empacotamento linear é dado por: FL = n * Vat / L Onde "n" é o número de átomos por célula unitária, "Vat" é o volume do átomo e "L" é o comprimento da direção considerada. Para a direção [011], temos que o número de átomos por célula unitária é igual a 2 (pois a direção [011] passa por dois átomos), o volume do átomo é dado por: Vat = (4/3) * π * (r/2)³ Onde "r" é o raio do átomo. Supondo que os átomos são esféricos e têm raio igual a metade do comprimento da aresta da célula unitária, temos: r = a / 2 = 2√2 Å Substituindo na fórmula do volume do átomo, temos: Vat = (4/3) * π * (2√2/2)³ = (16/3) * π * √2 ų Substituindo na fórmula do fator de empacotamento linear, temos: FL = 2 * (16/3) * π * √2 ų / (4√2 Å) = (8/3) * π Å⁻¹ b) Para o sistema cristalino cúbico de corpo centrado (CCC), a densidade linear é dada por: d = 2 / (4 * a * √3) Onde "a" é o comprimento da aresta da célula unitária. Para a direção [111], temos que a aresta da célula unitária é igual a: a = 4 Å Substituindo na fórmula da densidade linear, temos: d = 2 / (4 * 4 Å * √3) = √3 / 24 Å⁻¹ O fator de empacotamento linear é dado por: FL = n * Vat / L Onde "n" é o número de átomos por célula unitária, "Vat" é o volume do átomo e "L" é o comprimento da direção considerada. Para a direção [111], temos que o número de átomos por célula unitária é igual a 1 (pois a direção [111] passa por um único átomo), o volume do átomo é dado por: Vat = (4/3) * π * (r/2)³ Onde "r" é o raio do átomo. Supondo que os átomos são esféricos e têm raio igual a metade do comprimento da aresta da célula unitária, temos: r = a / √2 = 2√2 Å / 2 = √2 Å Substituindo na fórmula do volume do átomo, temos: Vat = (4/3) * π * (√2/2)³ = (2/3) * π * √2 ų Substituindo na fórmula do fator de empacotamento linear, temos: FL = 1 * (2/3) * π * √2 ų / (4 Å) = (1/6) * π * √2 Å⁻¹