Considerando a integral abaixo e utilizando a Regra do Trapézio repetida e 1/3 de Sympson repetida: ∫ ???? √???? ???????? ???? ???????? a) Calcule uma aproxi...

a) Utilizando a Regra do Trapézio repetida com 6 subintervalos, temos: h = (2 - 0)/6 = 1/3 x0 = 0, x1 = 1/3, x2 = 2/3, x3 = 1, x4 = 4/3, x5 = 5/3, x6 = 2 f(x0) = √(1 + 0) = 1 f(x1) = √(1 + 1/3) ≈ 1,105 f(x2) = √(1 + 2/3) ≈ 1,224 f(x3) = √(1 + 1) = √2 f(x4) = √(1 + 4/3) ≈ 1,386 f(x5) = √(1 + 5/3) ≈ 1,5 f(x6) = √(1 + 2) = √3 Aplicando a fórmula da Regra do Trapézio repetida, temos: T6 = (h/2) * [f(x0) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + 2*f(x3) + 2*f(x4) + 2*f(x5) + f(x6)] T6 ≈ 2,828 b) Para estimar o erro cometido, podemos utilizar a fórmula do erro da Regra do Trapézio: Etr = [(b - a) * h² / 12] * f''(ξ) Onde f''(ξ) é a segunda derivada de f(x) avaliada em algum ponto ξ pertencente ao intervalo [a, b]. Como f''(x) = (3/4) * (1 + x)^(-5/2), temos: f''(x) ≤ f''(2) = (3/4) * (1/3)^(-5/2) = 243/32 Assim, temos: Etr ≤ [(2 - 0) * (1/3)² / 12] * (243/32) Etr ≈ 0,002 c) Para encontrar o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^(-6), podemos utilizar a fórmula do erro da Regra do Trapézio e resolver a inequação: Etr ≤ [(b - a) * h² / 12] * f''(ξ) ≤ 10^(-6) Substituindo os valores, temos: [(2 - 0) * h² / 12] * (243/32) ≤ 10^(-6) h ≤ √[(10^(-6) * 12) / ((2 - 0) * (243/32))] ≈ 0,0003 Como h = (2 - 0) / n, temos: n ≥ (2 - 0) / h ≥ 6667 Assim, o número mínimo de subdivisões é 6667. d) Utilizando a Regra 1/3 de Simpson repetida com 123 subintervalos, temos: h = (2 - 0) / 123 ≈ 0,01626 x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, ..., x123 = 2 f(x0) = √(1 + 0) = 1 f(x1) = √(1 + h) ≈ 1,008 f(x2) = √(1 + 2h) ≈ 1,016 ... f(x122) = √(1 + 122h) ≈ 3,496 f(x123) = √(1 + 2) = √3 Aplicando a fórmula da Regra 1/3 de Simpson repetida, temos: S123 = (h/3) * [f(x0) + 4*f(x1) + 2*f(x2) + 4*f(x3) + ... + 2*f(x122) + 4*f(x123)] S123 ≈ 2,828427 Para encontrar o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^(-6), podemos utilizar a fórmula do erro da Regra 1/3 de Simpson e resolver a inequação: Es ≤ [(b - a) * h^4 / 180] * f^(4)(ξ) ≤ 10^(-6) Onde f^(4)(x) é a quarta derivada de f(x) avaliada em algum ponto ξ pertencente ao intervalo [a, b]. Como f^(4)(x) = (15/16) * (1 + x)^(-9/2), temos: f^(4)(x) ≤ f^(4)(2) = (15/16) * (1/3)^(-9/2) = 19683/32 Substituindo os valores, temos: [(2 - 0) * h^4 / 180] * (19683/32) ≤ 10^(-6) h ≤ ∛[(10^(-6) * 180 * 32) / ((2 - 0) * (19683))] ≈ 0,0003 Como h = (2 - 0) / n, temos: n ≥ (2 - 0) / h ≥ 6667 Assim, o número mínimo de subdivisões é 6667.