Seja f(x) = 1/(3x2 + 1) + 1. Então f ′(x) = −6x/(3x2 + 1)2 e f ′′(x) = 6(9x2 − 1)/(3x2 + 1)3. Justifique a resposta de cada item. (a) Dê a equação ...

(a) Para encontrar as assíntotas verticais, precisamos encontrar os valores de x que tornam o denominador da função igual a zero. Assim, temos que 3x² + 1 = 0, o que implica em x² = -1/3, o que não tem solução real. Portanto, não há assíntotas verticais. Para encontrar a assíntota horizontal, basta verificar o comportamento da função quando x tende ao infinito ou menos infinito. Como a função tende a 1 quando x tende ao infinito ou menos infinito, temos que y = 1 é a assíntota horizontal. (b) Para encontrar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente, precisamos encontrar os valores de x onde a derivada é positiva ou negativa, respectivamente. Temos que f'(x) = -6x/(3x² + 1)². Como o denominador é sempre positivo, o sinal da derivada depende apenas do numerador. Assim, a função é crescente quando o numerador é positivo, ou seja, quando x < 0, e é decrescente quando o numerador é negativo, ou seja, quando x > 0. (c) Para encontrar os pontos críticos, precisamos encontrar os valores de x onde a derivada é igual a zero ou não existe. Temos que f'(x) = -6x/(3x² + 1)² = 0, o que implica em x = 0. Como a função é contínua em todos os pontos, o valor máximo ou mínimo local ocorre em um ponto crítico ou em uma das extremidades do domínio. Como a função é crescente no intervalo (-∞,0) e decrescente no intervalo (0,∞), temos que o valor máximo ocorre em x = 0 e é igual a f(0) = 2. (d) Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos encontrar os valores de x onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Temos que f''(x) = 6(9x² - 1)/(3x² + 1)³ = 0, o que implica em x = ±1/3. Para determinar a concavidade, basta verificar o sinal da segunda derivada em cada intervalo. Temos que f''(x) > 0 quando x < -1/3 e quando x > 1/3, o que significa que a concavidade está para cima nesses intervalos. Temos que f''(x) < 0 quando -1/3 < x < 1/3, o que significa que a concavidade está para baixo nesse intervalo. (e) O esboço do gráfico de f pode ser feito com base nas informações obtidas nos itens anteriores. A função tem um valor máximo em x = 0 e uma assíntota horizontal em y = 1. Não há assíntotas verticais. A função é crescente no intervalo (-∞,0) e decrescente no intervalo (0,∞). A concavidade está para cima nos intervalos (-∞,-1/3) e (1/3,∞) e está para baixo no intervalo (-1/3,1/3).