(a) Verifique que as derivadas primeira e segunda da função f(x) = x2 − 1 x+ 3 são dadas por f ′(x) = x2 + 6x+ 1 (x+ 3)2 e f ′′(x) = 16 (x+ 3)3...

(a) Para encontrar a primeira derivada da função f(x), é necessário aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia. Assim, temos: f ′(x) = [(x+3)(2x) - (x^2 - 1)(1)] / (x+3)^2 f ′(x) = (2x^2 + 6x - x^2 + 1) / (x+3)^2 f ′(x) = (x^2 + 6x + 1) / (x+3)^2 Para encontrar a segunda derivada, é necessário aplicar novamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Assim, temos: f ′′(x) = [(x+3)^2(2x) - (x^2 + 6x + 1)(2(x+3))] / (x+3)^4 f ′′(x) = (2x(x+3)^2 - 2(x^2 + 6x + 1)(x+3)) / (x+3)^4 f ′′(x) = (2x(x^2 + 6x + 9) - 2(x^3 + 9x^2 + 18x + 3)) / (x+3)^4 f ′′(x) = (16 - 16x - 48) / (x+3)^3 f ′′(x) = -16 / (x+3)^3 (b) Para esboçar o gráfico da função f(x), é necessário analisar as seguintes características: (i) Domínio: a função é definida para todo x diferente de -3, pois o denominador da fração não pode ser igual a zero. (ii) Simetria: a função não apresenta simetria em relação ao eixo y ou ao ponto (0,0). (iii) Intersecções com os eixos de coordenadas: para encontrar as intersecções com o eixo x, basta igualar a função a zero e resolver a equação. Assim, temos: x^2 - 1 = 0 x = ±1 Para encontrar a intersecção com o eixo y, basta calcular o valor de f(0). Assim, temos: f(0) = -1/3 (iv) Monotonia e extremos: para analisar a monotonia e os extremos da função, é necessário encontrar os pontos críticos e os pontos de inflexão. Os pontos críticos são aqueles em que a primeira derivada é igual a zero ou não existe, e os pontos de inflexão são aqueles em que a segunda derivada muda de sinal. Assim, temos: f ′(x) = (x^2 + 6x + 1) / (x+3)^2 = 0 x = (-3 ± √11)/2 f ′′(-4) = -16/(-1)^3 = -16 f ′′(-2) = -16/(1)^3 = -16 f ′′(-3/2) = -16/(1/8)^3 = -2048 f ′′(0) = -16/(3)^3 = -16/27 f ′′(2) = -16/(5)^3 = -0,0512 f ′′(4) = -16/(7)^3 = -0,002 Assim, temos que: - a função é crescente no intervalo (-3, (-3 - √11)/2) e decrescente no intervalo ((-3 - √11)/2, ∞); - o ponto (-3/2, -11/32) é um ponto de mínimo relativo; - os pontos (-3, 1/2) e (1, 0) são pontos de máximo e mínimo absolutos, respectivamente. (v) Concavidade e pontos de inflexão: para analisar a concavidade e os pontos de inflexão da função, é necessário encontrar os pontos em que a segunda derivada é igual a zero ou não existe. Assim, temos: f ′′(x) = -16 / (x+3)^3 = 0 x = -3 Assim, temos que: - a função é côncava para baixo no intervalo (-∞, -3) e côncava para cima no intervalo (-3, ∞); - o ponto (-3, 1/2) é um ponto de inflexão. (vi) Assíntotas: para encontrar as assíntotas da função, é necessário calcular os limites no infinito e o limite vertical em x = -3. Assim, temos: lim f(x) = lim (x^2 - 1) / (x+3) = lim (x - 3)(x + 1) / (x+3) = lim (x - 3)(1 - 4/(x+3)) = +∞ x → ±∞ lim f(x) = lim (x^2 - 1) / (x+3) = lim (x - 3)(x + 1) / (x+3) = -4/3 x → -3 Assim, temos que: - a reta x = -3 é uma assíntota vertical da função; - não há assíntotas horizontais ou oblíquas. (vii) Imagem: a imagem da função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como a função é crescente no intervalo (-3, (-3 - √11)/2) e decrescente no intervalo ((-3 - √11)/2, ∞), o valor mínimo da imagem é f((-3 - √11)/2) e o valor máximo da imagem é f(-3). Assim, temos: Im(f) = [-11/32, 1/2]