Mostre que cos(2x) = 2x possui solução no intervalo ( 0, π 4 ) . Dica: Use o Teorema do Valor Intermediário. Justifique sua resposta. Mostre ...

Para mostrar que a equação cos(2x) = 2x possui solução no intervalo (0, π/4), podemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário. Primeiro, vamos verificar que a função f(x) = cos(2x) - 2x é contínua no intervalo (0, π/4). Sabemos que a função cos(2x) é contínua em todos os pontos do seu domínio, que é o conjunto dos números reais. Além disso, a função g(x) = 2x é uma função linear, portanto também é contínua em todos os pontos do seu domínio. Assim, a função f(x) = cos(2x) - 2x é a diferença de duas funções contínuas, o que implica que f(x) também é contínua em todos os pontos do seu domínio. Agora, vamos verificar que f(0) < 0 e f(π/4) > 0. Temos: f(0) = cos(0) - 2(0) = 1 > 0 f(π/4) = cos(π/2) - 2(π/4) = 0 - π/2 < 0 Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, sabemos que existe pelo menos um valor de x no intervalo (0, π/4) tal que f(x) = 0, ou seja, cos(2x) = 2x possui solução nesse intervalo.