4) (1,5 pontos) Dada a função 1 12)( 2    x xxfy , pede-se: (a) Determine o domínio da função. (b) Identifique o(s) ponto(s) de desconti...

(a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Nesse caso, a função tem um denominador, então devemos excluir do domínio os valores de x que tornam o denominador igual a zero. Assim, temos: x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0 x = 1 Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os valores de x diferentes de 1. (b) A função não apresenta pontos de descontinuidade. (c) Para calcular os limites da função para x tendendo ao infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por x². Assim, temos: lim f(x) = lim [1/(12/x² - 2/x + 1)] x → ±∞ Dividindo o numerador e o denominador por x², temos: lim f(x) = lim [1/(12 - 2x/x² + 1/x²)] x → ±∞ Como x² cresce mais rapidamente do que x, temos: lim f(x) = lim [1/(12 - 0 + 0)] x → ±∞ lim f(x) = 1/12 Portanto, a função tem uma assíntota horizontal y = 1/12. (d) A função tem uma única assíntota horizontal, que é y = 1/12. (e) Para calcular os limites laterais, devemos avaliar a função à esquerda e à direita do ponto de descontinuidade, que é x = 1. Como a função não apresenta pontos de descontinuidade, não é necessário calcular limites laterais. (f) A função não apresenta assíntotas verticais. (g) Para fazer o esboço do gráfico da função, podemos usar as informações obtidas anteriormente. O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x diferentes de 1. A função tem uma assíntota horizontal y = 1/12. Não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais. Podemos também calcular alguns pontos da função para ajudar a desenhar o gráfico. Por exemplo: f(0) = 1/3 f(2) = -1/8 Assim, o esboço do gráfico da função é uma curva suave que se aproxima da assíntota horizontal y = 1/12. (h) A imagem da função é o conjunto de todos os valores de y que a função pode assumir. Como a função tem uma assíntota horizontal em y = 1/12, podemos concluir que a imagem da função é o conjunto de todos os valores de y diferentes de 1/12.