4) (1,5 ponto) Dada a função 4/5 * (1/x) + 1/(x-2), pede-se: (a) Determine o domínio da função. (b) Identifique o(s) ponto(s) de descontinuidad...

(a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso da função dada, o denominador não pode ser igual a zero, então devemos excluir os valores de x que tornam 1/x ou x-2 igual a zero. Portanto, o domínio da função é: x ≠ 0 e x ≠ 2. (b) A função é contínua em todo o seu domínio, portanto não há pontos de descontinuidade. (c) Para calcular os limites da função para x -> -inf e x -> inf, devemos observar que a função é uma soma de duas frações. Quando x se aproxima de -infinito ou infinito, o valor de cada fração se aproxima de zero. Portanto, o limite da função para x -> -inf e x -> inf é zero. (d) Para encontrar as assíntotas horizontais, devemos calcular o limite da função quando x se aproxima de infinito ou -infinito. Como já vimos que o limite da função é zero, não há assíntotas horizontais. (e) Não há limites laterais a serem calculados, pois a função é contínua em todo o seu domínio. (f) Para encontrar as assíntotas verticais, devemos procurar os valores de x que tornam o denominador da função igual a zero. Neste caso, o denominador é (x-2), portanto a assíntota vertical é x = 2. (g) Para esboçar o gráfico da função, podemos começar traçando a assíntota vertical em x = 2. Em seguida, podemos observar que a função é positiva para valores positivos de x e negativa para valores negativos de x. Além disso, a função se aproxima de zero quando x se aproxima de infinito ou -infinito. Portanto, podemos desenhar um gráfico que começa no eixo y positivo, passa pela assíntota vertical em x = 2 e se aproxima do eixo x à medida que x se aproxima de infinito ou -infinito. (h) A imagem da função é o conjunto de todos os valores de y que a função pode assumir. Como a função é contínua em todo o seu domínio e se aproxima de zero quando x se aproxima de infinito ou -infinito, a imagem da função é o conjunto de todos os números reais, exceto zero.