Dada a função 1xx 3 1 x 4 1 )x(f 234 +−−= , pede-se: (a) O domínio da função, destacando o(s) ponto(s) de descontinuidade, caso exista(m). (b) A de...

(a) O domínio da função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função é definida. Nesse caso, a função é definida para todos os valores de x, exceto para x = -2, x = 1 e x = 4, que são os pontos de descontinuidade. Portanto, o domínio da função é dado por: D = R - {-2, 1, 4}. (b) Para encontrar a derivada de primeira ordem, basta derivar a função em relação a x. Temos: f'(x) = 3x² - 8x³ + 4. (c) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, é necessário analisar o sinal da derivada. Temos que f'(x) = 3x² - 8x³ + 4. A derivada é positiva quando 3x² - 8x³ + 4 > 0, ou seja, quando x < -0,47 ou x > 1,06. A derivada é negativa quando 3x² - 8x³ + 4 < 0, ou seja, quando -0,47 < x < 1,06. Portanto, a função é crescente em (-∞, -0,47) U (1,06, +∞) e decrescente em (-0,47, 1,06). (d) Para encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos, é necessário analisar os pontos críticos da função, que são os valores de x onde a derivada é igual a zero ou não existe. Temos que f'(x) = 3x² - 8x³ + 4. Igualando a derivada a zero, temos: 3x² - 8x³ + 4 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos três valores críticos: x = -0,47, x = 0,53 e x = 1,06. Para determinar se esses pontos são de máximo ou mínimo, é necessário analisar o sinal da derivada próxima a cada ponto. Temos que f''(x) = 6x - 24x². Quando f''(x) > 0, a função tem concavidade voltada para cima, indicando um ponto de mínimo relativo. Quando f''(x) < 0, a função tem concavidade voltada para baixo, indicando um ponto de máximo relativo. Portanto, temos um ponto de mínimo relativo em x = -0,47 e um ponto de máximo relativo em x = 1,06. (e) Para encontrar a derivada de segunda ordem, basta derivar a função em relação a x novamente. Temos: f''(x) = 6x - 24x². (f) Para determinar os intervalos de concavidade voltada para cima e para baixo, é necessário analisar o sinal da derivada segunda. Temos que f''(x) = 6x - 24x². A derivada segunda é positiva quando 6x - 24x² > 0, ou seja, quando x < 0,25 ou x > 1. A derivada segunda é negativa quando 6x - 24x² < 0, ou seja, quando 0,25 < x < 1. Portanto, a função tem concavidade voltada para cima em (-∞, 0,25) U (1, +∞) e concavidade voltada para baixo em (0,25, 1). (g) Para encontrar os pontos de inflexão, é necessário analisar os pontos onde a concavidade da função muda. Isso ocorre quando a derivada segunda é igual a zero ou não existe. Temos que f''(x) = 6x - 24x². Igualando a derivada segunda a zero, temos: 6x - 24x² = 0. Resolvendo essa equação, encontramos dois pontos de inflexão: x = 0,25 e x = 1. (h) Para encontrar os limites da função para x → -∞ e x → +∞, basta analisar o comportamento da função quando x se aproxima desses valores. Temos que f(x) = 1/x³ - 8/x² + 4/x + 1. Quando x se aproxima de -∞, a função tende a infinito negativo. Quando x se aproxima de +∞, a função tende a infinito positivo. (i) Para esboçar o gráfico da função, é necessário utilizar as informações obtidas nos itens anteriores. O gráfico da função tem pontos de descontinuidade em x = -2, x = 1 e x = 4. A função é crescente em (-∞, -0,47) U (1,06, +∞) e decrescente em (-0,47, 1,06). Temos um ponto de mínimo relativo em x = -0,47 e um ponto de máximo relativo em x = 1,06. A função tem concavidade voltada para cima em (-∞, 0,25) U (1, +∞) e concavidade voltada para baixo em (0,25, 1). Temos dois pontos de inflexão em x = 0,25 e x = 1. (j) Para encontrar a imagem da função, é necessário analisar os valores que a função pode assumir. Como a função é crescente em (-∞, -0,47) U (1,06, +∞) e decrescente em (-0,47, 1,06), o valor mínimo da função é f(-0,47) = -0,68 e o valor máximo da função é f(1,06) = 3,17. Portanto, a imagem da função é dada por: Im(f) = [-0,68, 3,17].