5. (0,5 ponto) a) Escreva a definição formal de limites. Explique o que ela significa. (0,5 ponto) b) Determine δ > 0 para ε > 0 dado, de modo qu...

a) A definição formal de limite é: Dado um número real L e uma função f(x), dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de um número real a é L, e escrevemos lim x→a f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - a| < δ, então |f(x) - L| < ε. Essa definição significa que podemos encontrar um valor de L que a função se aproxima quando x se aproxima de a, desde que a diferença entre f(x) e L seja menor que ε, para qualquer valor positivo de ε. b) Para encontrar δ, podemos usar a definição formal de limite. Sabemos que lim x→−1 (3− 4x) = 7 e ε = 0,02. Então, precisamos encontrar um valor de δ que satisfaça a condição |(3 - 4x) - 7| < 0,02 sempre que 0 < |x + 1| < δ. Começamos manipulando a desigualdade acima: |(3 - 4x) - 7| < 0,02 |-4x - 4| < 0,02 |4x + 4| < 0,02 -0,02 < 4x + 4 < 0,02 -4,02 < 4x < -3,98 -1,005 < x + 1 < -0,995 0 < |x + 1| < 0,005 Portanto, podemos escolher δ = 0,005. Se 0 < |x + 1| < 0,005, então |(3 - 4x) - 7| < 0,02, o que satisfaz a definição de limite.