Em um meio dielétrico com permissividade elétrica relativa εr = 2, o potencial elétrico está definido por V = -x2y em volts, para este caso calcule...

a) Para calcular a energia necessária para mover uma carga de -5nC do ponto (2,1,3) até o ponto (5,1,0), podemos utilizar a equação de energia potencial elétrica: U = q * V, onde q é a carga e V é o potencial elétrico. Substituindo os valores, temos: U = (-5nC) * [(5²*1) - (2²*1*3)] U = -5nC * 19V U = -95nJ Portanto, a energia necessária é de -95nJ. b) Para calcular o campo elétrico (E) no ponto (1,1,1), podemos utilizar a equação gradiente do potencial elétrico: E = -grad(V), onde grad é o operador gradiente. Derivando V em relação a x, y e z, temos: E = -grad(V) = -(-2xyi - x²j) E = 2xyi + x²j Substituindo os valores, temos: E = 2(1)(1)i + (1)²j E = 2i + j Portanto, o campo elétrico no ponto (1,1,1) é de 2i + j. c) Para calcular o vetor polarização (P) no ponto (1,1,1), podemos utilizar a equação P = ε0 * (E + D), onde ε0 é a permissividade elétrica do vácuo e D é o vetor deslocamento elétrico. Como estamos em um meio dielétrico, temos que D = εr * ε0 * E, onde εr é a permissividade elétrica relativa. Substituindo os valores, temos: D = 2ε0 * (2i + j) P = ε0 * (E + D) P = ε0 * (2i + j + 2εr * ε0 * (2i + j)) P = ε0 * (2i + j + 8ε0 * (2i + j)) P = 18ε0i + 9ε0j Portanto, o vetor polarização no ponto (1,1,1) é de 18ε0i + 9ε0j. d) Para calcular o fluxo elétrico total que atravessa a superfície definida por y = 4, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 3, podemos utilizar a equação do fluxo elétrico: Φ = ∫∫E * dS, onde dS é o elemento diferencial de área. Como a superfície é um paralelepípedo retângulo, podemos dividir em 6 faces e calcular o fluxo elétrico em cada uma delas. As faces com y = 4 não contribuem para o fluxo elétrico, pois o campo elétrico é perpendicular a elas. Portanto, temos: Φ = ∫∫E * dS = ∫∫E * dS + ∫∫E * dS + ∫∫E * dS = 2∫∫E * dS + 2∫∫E * dS + 2∫∫E * dS = 4∫∫E * dS Considerando a face x = 0, temos: Φ1 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * (-i) * dy * dz = ∫0³∫0⁴(2xy)dydz = 96 Considerando a face x = 3, temos: Φ2 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * i * dy * dz = ∫0³∫0⁴(2xy)dydz = 96 Considerando a face z = 0, temos: Φ3 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * (-k) * dx * dy = ∫0³∫0⁴(-x²)dydx = -64 Considerando a face z = 3, temos: Φ4 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * k * dx * dy = ∫0³∫0⁴(3x²)dydx = 144 Considerando a face y = 0, temos: Φ5 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * (-j) * dx * dz = ∫0³∫0³(-x²)dzdx = -27 Considerando a face y = 4, temos: Φ6 = ∫∫E * dS = ∫∫(2xyi + x²j) * j * dx * dz = ∫0³∫0³(4x²)dzdx = 36 Somando os valores, temos: Φ = 4(96) - 64 - 27 + 36 = 347 Portanto, o fluxo elétrico total que atravessa a superfície definida por y = 4, 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 3 é de 347. e) Para calcular a energia armazenada em forma de campo elétrico dentro da região do espaço definida por 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3, podemos utilizar a equação da energia armazenada em um campo elétrico: U = (1/2) * ∫∫∫ε * E² dV, onde ε é a permissividade elétrica do meio e dV é o elemento diferencial de volume. Substituindo os valores, temos: U = (1/2) * ∫∫∫ε * E² dV = (1/2) * ∫0³∫0⁴∫0³2ε0 * (2xy)² + εr * ε0 * (2xy)² dx dy dz = (1/2) * ∫0³∫0⁴∫0³2ε0 * (4x²y²) + 2εr * ε0 * (x²y²) dx dy dz = (1/2) * ∫0³∫0⁴∫0³2ε0 * (4x²y² + 2εr * x²y²) dx dy dz = (1/2) * ∫0³∫0⁴∫0³2ε0 * (4 + 2εr) * x²y² dx dy dz = (1/2) * 2ε0 * (4 + 2εr) * ∫0³∫0⁴∫0³x²y² dx dy dz = (1/2) * 2ε0 * (4 + 2εr) * (1/3) * (4³) * (4⁴) * (1/3) = 2048ε0(4 + 2εr)/9 Portanto, a energia armazenada em forma de campo elétrico dentro da região do espaço definida por 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 3 é de 2048ε0(4 + 2εr)/9.