Em uma determinada região do espaço, cargas elétricas que estão distribuídas de acordo com uma distribuição volumétrica ρV = 10.r.sen(θ) mC/m3 se ...

a) Para encontrar a densidade de corrente (J) no ponto (2, π/2, π/3), precisamos calcular o vetor densidade de corrente (Jv) e, em seguida, encontrar o seu módulo. O vetor densidade de corrente é dado por Jv = ρV.u, onde u é o vetor velocidade das cargas elétricas. Substituindo os valores dados, temos: ρV = 10.r.sen(θ) mC/m³ u = 5ar + r²aφ m/s Jv = ρV.u Jv = 10.r.sen(θ) . (5ar + r²aφ) Jv = 50r.sen(θ) ar + 10r³.sen(θ) aφ O módulo da densidade de corrente é dado por J = |Jv| = √(Jx² + Jy² + Jz²), onde Jx, Jy e Jz são as componentes do vetor densidade de corrente nas direções x, y e z, respectivamente. Como o ponto dado está na direção x, temos: J = |Jv| = √(Jx²) J = √((50r.sen(θ))²) J = 50r.sen(θ) Substituindo as coordenadas do ponto (2, π/2, π/3), temos: r = 2 θ = π/2 J = 50.2.sen(π/2) J = 100 A/m² Portanto, a densidade de corrente no ponto (2, π/2, π/3) é de 100 A/m². b) Para encontrar a corrente total (I) que atravessa a superfície definida por 0 < r < 1; 0 < θ < π/2; e φ = 90°, precisamos calcular o fluxo da densidade de corrente através dessa superfície. O fluxo é dado por: Φ = ∫∫J.n.dS Onde J é a densidade de corrente, n é o vetor normal à superfície e dS é o elemento de área da superfície. Como a superfície é um hemisfério de raio 1, com centro na origem e com a face plana na direção x positiva, temos: n = -a_x dS = r².sen(θ).dθ.dφ Substituindo os valores de J, n e dS, temos: Φ = ∫∫J.n.dS Φ = ∫∫(50r.sen(θ)).(-a_x).r².sen(θ).dθ.dφ Φ = -50∫∫r³.sen²(θ).dθ.dφ Integrando em relação a θ e φ, temos: Φ = -50∫0^1∫0^(π/2)r³.sen²(θ).dθ.dφ Φ = -50.(π/2).(1/3) Φ = -25π/3 Como a corrente é dada por I = Φ/ρ, onde ρ é a resistividade do meio, e não foi fornecido o valor de ρ, não é possível calcular a corrente total que atravessa a superfície.