12. URCA/2011.1 ­  Seja ABC um triângulo com AB=AC=20cm e BC=10cm. Seja m M e N os   pontos   médios   dos   lados AB e AC , respectivamente,   e,...

Para calcular a soma das áreas dos triângulos MDB e NEC, precisamos primeiro encontrar a altura desses triângulos em relação à base BC. Como M e N são pontos médios de AB e AC, respectivamente, temos que MN é paralelo a BC e MN = 10 cm (metade de BC). Além disso, como AB = AC, temos que as alturas dos triângulos MDB e NEC são iguais. Assim, podemos calcular a altura de um dos triângulos, por exemplo, o triângulo MDB. Seja h a altura de MDB em relação à base BC. Temos que: h² + (MD)² = (MB)² h² + ((BC/2) - BD)² = AB² h² + (5 - BD)² = 400 h² + BD² - 10BD + 25 = 400 h² + BD² - 10BD - 375 = 0 Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BDN, temos que: h² + BD² = ND² Substituindo em nossa equação, temos: ND² - 10BD - 375 = 0 Usando novamente o teorema de Pitágoras no triângulo AND, temos que: ND² + (AC/2)² = AD² ND² + 100 = AD² Substituindo em nossa equação, temos: AD² - 10BD - 275 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau em relação a BD, temos: BD = [10 ± √(10² + 4.275)]/2 BD = [10 ± √425]/2 BD = 5 ± 5√17/2 Como BD é a altura do triângulo MDB em relação à base BC, temos que BD é positivo. Portanto, BD = 5 + 5√17/2. Assim, a altura h do triângulo MDB em relação à base BC é dada por: h² + BD² = ND² h² + (5 + 5√17/2)² = (AC/2)² h² + 25 + 25√17/2 + 425/4 = 100 h² = 100 - 25 - 25√17/2 - 425/4 h² = 75 - 25√17/2 h = √(75 - 25√17/2) A área do triângulo MDB é dada por: Área(MDB) = (BC x h)/2 Área(MDB) = (10 x √(75 - 25√17/2))/2 Área(MDB) = 5√(75 - 25√17/2) Da mesma forma, podemos calcular a altura do triângulo NEC em relação à base BC e a sua área. Assim, a soma das áreas dos triângulos MDB e NEC é: Área(MDB) + Área(NEC) = 5√(75 - 25√17/2) + 5√(75 + 25√17/2) Área(MDB) + Área(NEC) = 5(√(75 - 25√17) + √(75 + 25√17)) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 25√3/2 cm².