08. URCA/2011.1 ­  Seja r a reta de equação 2x y=1. Seja s a reta perpendicular a r que passa pelo ponto  ,1/3  . A área do triângulo determina...

Para encontrar a área do triângulo formado pelas retas e pelo eixo X, precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção entre as retas r e s. A equação da reta r é 2x + y = 1. Podemos reescrevê-la como y = -2x + 1. Sabemos que a reta s é perpendicular a r e passa pelo ponto (0, 1/3). A inclinação da reta s é o oposto do inverso da inclinação da reta r, ou seja, 1/2. Portanto, a equação da reta s é y = (1/2)x + 1/3. Agora podemos encontrar o ponto de interseção entre as duas retas. Igualando as equações de y, temos: -2x + 1 = (1/2)x + 1/3 -4x + 6 = x + 2/3 -5x = -16/3 x = 16/15 Substituindo x na equação da reta s, temos: y = (1/2)(16/15) + 1/3 y = 8/15 + 1/3 y = 19/45 Portanto, o ponto de interseção entre as retas r e s é (16/15, 19/45). Agora podemos encontrar a base do triângulo, que é a distância entre o ponto de interseção e a interseção da reta r com o eixo x. Para encontrar a interseção da reta r com o eixo x, basta fazer y = 0 na equação de r: 2x + y = 1 2x + 0 = 1 x = 1/2 A base do triângulo é, portanto, a distância entre (16/15, 19/45) e (1/2, 0): d = sqrt[(16/15 - 1/2)^2 + (19/45 - 0)^2] d = sqrt[(8/15)^2 + (19/45)^2] d = sqrt[64/225 + 361/2025] d = sqrt[577/2025] d = sqrt(577)/45 Agora podemos encontrar a área do triângulo: A = (base x altura)/2 A = [(sqrt(577)/45) x (1/3)]/2 A = sqrt(577)/270 Portanto, a resposta correta é a letra E) 26/6 u.a. (ou sqrt(577)/270).