18. URCA (2013.2) - A elipse  S  é   tal  que seus focos   são   os   pontos   de   interseção   da circunferência (x−1 )2+(y+2)2=9 com   a reta x+...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as propriedades da elipse. Sabemos que a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante e igual ao comprimento do eixo maior. Além disso, a distância entre o centro da elipse e a reta diretriz é igual ao comprimento do eixo menor. Vamos começar encontrando as coordenadas dos focos da elipse. Sabemos que eles são os pontos de interseção da circunferência (x-1)² + (y+2)² = 9 com a reta x+y=1/2. Podemos substituir y por 1/2-x na equação da circunferência e obter uma equação do segundo grau em x: (x-1)² + (1/2-x+2)² = 9 x² - 3x + 13/4 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos x = 3/2 ± √(221)/4. Substituindo esses valores na equação da reta, encontramos as coordenadas dos focos: (1/2, -1/2 ± √(221)/2). Agora podemos encontrar o comprimento do eixo maior, que é dado como 8. Sabemos que a soma das distâncias dos focos a qualquer ponto da elipse é igual a 2 vezes o comprimento do eixo maior. Podemos escolher um ponto qualquer da elipse, por exemplo, o ponto mais à direita, que tem coordenadas (5, y). A distância desse ponto ao primeiro foco é √[(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²] e a distância ao segundo foco é √[(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²]. Somando essas duas distâncias e igualando a 16, temos: 2√[(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²] + 2√[(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²] = 16 Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 2 e elevando ao quadrado: [(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²] + [(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²] + 2√[(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²]√[(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²] = 64 Simplificando novamente, temos: 2[(5-1/2)² + (y+1/2)² + (221/4)] + 2√[(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²]√[(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²] = 64 Podemos simplificar ainda mais, dividindo tudo por 2 e subtraindo (5-1/2)² - (221/4) de ambos os lados: (y+1/2)² + √[(5-1/2)² + (y+1/2-√(221)/2)²]√[(5-1/2)² + (y+1/2+√(221)/2)²] = 15/2 Agora podemos encontrar o comprimento do eixo menor, que é igual à distância entre o centro da elipse e a reta diretriz. Sabemos que o centro da elipse é o ponto médio entre os focos, ou seja, (1/2, -1/2). A equação da reta diretriz é x+y=1/2, que pode ser escrita como y = -x + 1/2. A distância entre o centro da elipse e a reta diretriz é dada pela fórmula: d = |(-1/2) - (-1/2) + 1/2|/√2 = 1/2√2 Portanto, o comprimento do eixo menor é √(8² - (1/2√2)²) = √(64 - 1/8) = √(511/8) = √(93/2). Portanto, a alternativa correta é a letra C) √93/2√2.