A ordem de grandeza da soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento do binômio (a + b)38 vale: a) 1011 b) 1015 c) 1019 d) 1023 e) 1027

Para encontrar a ordem de grandeza da soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento do binômio (a + b)38, podemos utilizar a fórmula do binômio de Newton, que é: C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) Onde C(n, k) é o coeficiente numérico do termo de ordem k no desenvolvimento do binômio (a + b)^n. Assim, para encontrar a soma dos coeficientes numéricos do desenvolvimento do binômio (a + b)^38, podemos somar todos os coeficientes numéricos de k = 0 até k = 38: S = C(38, 0) + C(38, 1) + C(38, 2) + ... + C(38, 38) Podemos utilizar a aproximação de Stirling para estimar o valor de n! para valores grandes de n: n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n Assim, podemos aproximar cada coeficiente numérico C(n, k) como: C(n, k) ≈ √(2πn) * (n/e)^n / [√(2πk) * (k/e)^k * √(2π(n-k)) * ((n-k)/e)^(n-k)] Podemos simplificar essa expressão como: C(n, k) ≈ (n+1)^(n+1/2) / (k+1)^(k+1/2) * (n-k+1)^(n-k+1/2) Assim, podemos aproximar a soma dos coeficientes numéricos como: S ≈ ∑[k=0 até 38] (n+1)^(n+1/2) / (k+1)^(k+1/2) * (n-k+1)^(n-k+1/2) Podemos utilizar a regra do trapézio para aproximar essa soma como: S ≈ ∫[x=0 até 38] (n+1)^(n+1/2) / (x+1)^(x+1/2) * (n-x+1)^(n-x+1/2) dx Podemos utilizar a aproximação de Stirling novamente para estimar o valor de n^(n+1/2): n^(n+1/2) ≈ √(2πn) * (n/e)^n * n^(1/2) Assim, podemos aproximar a soma dos coeficientes numéricos como: S ≈ √(2πn) * (n/e)^n * ∫[x=0 até 38] n^(1/2) / (x+1)^(x+1/2) * (n-x+1)^(n-x+1/2) dx Podemos utilizar a aproximação de Simpson para aproximar essa integral como: S ≈ √(2πn) * (n/e)^n * [n^(1/2) / (n+1)^(n+1/2) * (n+1)^(n+1/2) + 4 * n^(1/2) / (n/2+1)^(n/2+1/2) * (n/2+1)^(n/2+1/2) + 2 * ∑[k=1 até 18] n^(1/2) / (2k+1)^(2k+1/2) * (n-2k+1)^(n-2k+1/2)] Podemos simplificar essa expressão como: S ≈ √(2πn) * (n/e)^n * [1 + 4 * (n/2+1)^(1/2) / n^(1/2) * (n/2+1)^(n/2+1/2) + 2 * ∑[k=1 até 18] (2k+1)^(1/2) / n^(1/2) * (n-2k+1)^(n-2k+1/2)] Podemos aproximar cada termo da soma como: (2k+1)^(1/2) ≈ 2k + 1/2 (n-2k+1)^(n-2k+1/2) ≈ n^(n-2k+1/2) * e^(-2k+1/2) Assim, podemos aproximar a soma dos coeficientes numéricos como: S ≈ √(2πn) * (n/e)^n * [1 + 4 * (n/2+1)^(n+1/2) / n^(n+1/2) + 2 * ∑[k=1 até 18] (2k+1/2) * n^(1/2) * e^(-2k+1/2) * n^(n-2k+1/2)] Podemos simplificar essa expressão como: S ≈ √(2πn) * (n/e)^n * [1 + 2 * (n/2+1)^(n+1/2) / n^(n+1/2) + ∑[k=1 até 18] (2k+1) * e^(-2k+1/2) * n^(n-2k+1/2)] Podemos utilizar a aproximação de Stirling novamente para estimar o valor de n^(n+1/2): n^(n+1/2) ≈ √(2πn) * (n/e)^n * n^(1/2) Assim, podemos aproximar a soma dos coeficientes numéricos como: S ≈ n^(n+1/2) * [1 + 2 * (n/2+1)^(n+1/2) / n^(n+1/2) + ∑[k=1 até 18] (2k+1) * e^(-2k+1/2) * n^(-k+1/2)] Podemos utilizar a aproximação de que n é grande o suficiente para desprezar os termos com k > 1 na soma: S ≈ n^(n+1/2) * [1 + 2 * (n/2+1)^(n+1/2) / n^(n+1/2) + (2+5e^(-3/2)) * n^(-1/2)] Assim, podemos aproximar a ordem de grandeza da soma dos coeficientes numéricos como: S ≈ n^(n+1/2) ≈ 10^27 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 1027.