7. (Efomm 2017) Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas: 3 4 6 x 3 0 16 b y a 1 4 2 z 3 − −       =      ...

O sistema linear apresentado é: 3x + 4y + 6z = 3 16y + bz + ay = 0 x + 4y + 2z = 3 Para analisar as afirmativas, podemos utilizar o método de eliminação de Gauss-Jordan ou qualquer outro método de resolução de sistemas lineares. I. Se b = 12, o sistema linear terá uma única solução. Verdadeira. Substituindo b = 12 na segunda equação, temos: 16y + 12z + ay = 0 Dividindo toda a equação por 4, temos: 4y + 3z + (a/4)y = 0 Isolando y, temos: y = (-3/4)z - (a/16) Substituindo y na terceira equação, temos: x + 4(-3/4)z - (a/8) + 2z = 3 Simplificando, temos: x - (a/8) = 3 Isolando x, temos: x = 3 + (a/8) Substituindo x e y na primeira equação, temos: 3(3 + (a/8)) + 4(-3/4)z - 6z = 3 Simplificando, temos: 9 + (3/8)a - 3z = 3 Isolando z, temos: z = (1/3)(9 + (3/8)a) Portanto, o sistema linear terá uma única solução para qualquer valor de a e b = 12. II. Se a-b = 12, o sistema linear terá infinitas soluções. Verdadeira. Subtraindo a primeira equação da terceira, temos: -2x - 4z = 0 Dividindo toda a equação por -2, temos: x + 2z = 0 Isolando x, temos: x = -2z Substituindo x na terceira equação, temos: -2z + 4y + 2z = 3 Simplificando, temos: y = (3/4) Substituindo y e x na primeira equação, temos: 3(-2z) + 4(3/4) + 6z = 3 Simplificando, temos: 3 = 3 Portanto, o sistema linear terá infinitas soluções para qualquer valor de a e b tal que a - b = 12. III. Se b = -12, o sistema linear terá solução única. Falsa. Substituindo b = -12 na segunda equação, temos: 16y - 12z + ay = 0 Dividindo toda a equação por 4, temos: 4y - 3z + (a/4)y = 0 Isolando y, temos: y = (3/4)z - (a/16) Substituindo y na terceira equação, temos: x + 4(3/4)z - (a/8) + 2z = 3 Simplificando, temos: x + (3/2)z - (a/8) = 3 Isolando x, temos: x = 3 - (3/2)z + (a/8) Substituindo x e y na primeira equação, temos: 3(3 - (3/2)z + (a/8)) + 4(3/4)z - 6z = 3 Simplificando, temos: 9 - (9/2)z + (3/8)a = 0 Isolando z, temos: z = (16/9)(3/8)a - (16/9) Portanto, o sistema linear terá solução única apenas para valores específicos de a e b, que não são determinados pela afirmativa III. Portanto, a alternativa correta é a letra d) Apenas I e II são verdadeiras.