Sabendo que a equação 04x5kxx2  , em que a constante k é um número inteiro, não admite raízes reais, considere todos os números inteiros de trê...

Para que a equação 04x5kxx2  não tenha raízes reais, o discriminante deve ser negativo. Assim, temos: Δ = (5k)² - 4.0.4.(-2k) < 0 Δ = 25k² + 32k < 0 k(k + 32/25) < 0 Logo, temos que -32/25 < k < 0 ou k > 0. Para formar números inteiros de três algarismos distintos, temos 9 opções para o primeiro algarismo (não pode ser zero), 9 opções para o segundo algarismo (não pode ser igual ao primeiro) e 8 opções para o terceiro algarismo (não pode ser igual aos dois primeiros). Assim, temos 9x9x8 = 648 números possíveis. Agora, precisamos contar quantos desses números têm a soma de seus algarismos como um número par. Podemos fazer isso por meio de contagem por casos: - Caso 1: primeiro e segundo algarismos pares e terceiro algarismo par Temos 4 opções para o primeiro algarismo (2, 4, 6 ou 8), 4 opções para o segundo algarismo (0, 2, 4 ou 6) e 4 opções para o terceiro algarismo (0, 2, 4 ou 6). Assim, temos 4x4x4 = 64 números nesse caso. - Caso 2: primeiro e segundo algarismos ímpares e terceiro algarismo par Temos 5 opções para o primeiro algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9), 4 opções para o segundo algarismo (0, 2, 4 ou 6) e 4 opções para o terceiro algarismo (0, 2, 4 ou 6). Assim, temos 5x4x4 = 80 números nesse caso. - Caso 3: primeiro algarismo par, segundo algarismo ímpar e terceiro algarismo ímpar Temos 4 opções para o primeiro algarismo (2, 4, 6 ou 8), 5 opções para o segundo algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9) e 4 opções para o terceiro algarismo (1, 3, 5 ou 7). Assim, temos 4x5x4 = 80 números nesse caso. - Caso 4: primeiro algarismo ímpar, segundo algarismo par e terceiro algarismo ímpar Temos 5 opções para o primeiro algarismo (1, 3, 5, 7 ou 9), 4 opções para o segundo algarismo (0, 2, 4 ou 6) e 4 opções para o terceiro algarismo (1, 3, 5 ou 7). Assim, temos 5x4x4 = 80 números nesse caso. Portanto, temos um total de 64+80+80+80 = 304 números com a soma de seus algarismos como um número par. A probabilidade de escolher-se aleatoriamente um desses números é 304/648 = 38/81. Assim, a alternativa correta é a letra E) 35/18.