20 - (FGV ) Admita que (A, B, C, D, E, F) seja uma sêxtupla ordenada de números inteiros maiores ou iguais a 1 tais que ABCDEF. A respeito dos...

Para encontrar o número de possibilidades distintas para a sêxtupla ordenada (A, B, C, D, E, F), podemos usar o seguinte raciocínio: Sabemos que a mediana e a moda da sequência A, B, C, D, E, F são, ambas, iguais a 2. Isso significa que, dos seis números, três são iguais a 2. Como A ≤ B ≤ C ≤ D ≤ E ≤ F, podemos ter as seguintes possibilidades para os valores de A, B, C, D, E e F: 1. A = B = C = 2 e D ≤ E ≤ F 2. A = B = 2, C ≤ D ≤ E ≤ F 3. A = 2, B ≤ C ≤ D ≤ E ≤ F Para cada uma dessas possibilidades, podemos calcular o número de sêxtuplas ordenadas distintas que satisfazem as condições do problema. 1. Se A = B = C = 2 e D ≤ E ≤ F, então temos 3 números iguais a 2 e 3 números maiores ou iguais a 3. A diferença entre F e A é 19, o que significa que F = A + 19. Portanto, temos que escolher 3 números maiores ou iguais a 3 dentre os números 3, 4, 5, ..., A + 16. Isso pode ser feito de C(16, 3) maneiras. O número total de sêxtuplas ordenadas distintas é então C(16, 3) = 560. 2. Se A = B = 2, C ≤ D ≤ E ≤ F, então temos 2 números iguais a 2 e 4 números maiores ou iguais a 3. A diferença entre F e A é 19, o que significa que F = A + 19. Podemos escolher 2 números iguais a 2 dentre os números C, D, E e F de C(4, 2) maneiras. Em seguida, temos que escolher 2 números maiores ou iguais a 3 dentre os números 3, 4, 5, ..., A + 16. Isso pode ser feito de C(16, 2) maneiras. O número total de sêxtuplas ordenadas distintas é então C(4, 2) × C(16, 2) = 1.680. 3. Se A = 2, B ≤ C ≤ D ≤ E ≤ F, então temos 1 número igual a 2 e 5 números maiores ou iguais a 3. A diferença entre F e A é 19, o que significa que F = A + 19. Podemos escolher 1 número igual a 2 dentre os números B, C, D, E e F de C(5, 1) maneiras. Em seguida, temos que escolher 2 números maiores ou iguais a 3 dentre os números 3, 4, 5, ..., A + 16. Isso pode ser feito de C(16, 2) maneiras. O número total de sêxtuplas ordenadas distintas é então C(5, 1) × C(16, 2) = 2.240. Somando as possibilidades, temos: 560 + 1.680 + 2.240 = 4.480 Portanto, o número de possibilidades distintas para a sêxtupla ordenada (A, B, C, D, E, F) é igual a 4.480, ou seja, a alternativa correta é a letra E).