44. (FAURGS / TJ-RS - Técnico Judiciário / 2012) A base CD do retângulo ABCD é dividida em 4 partes de mesma medida pelos pontos M, N e O. O ponto ...

Para resolver essa questão, é necessário utilizar alguns conceitos de geometria plana. Primeiramente, é importante lembrar que a área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e sua altura. No caso do retângulo ABCD, a base é o segmento CD e a altura é o segmento AB. Além disso, a área de um triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. No caso do triângulo MPO, a base é o segmento MO e a altura é a distância entre o ponto P e a reta MO. Como a base CD é dividida em 4 partes de mesma medida pelos pontos M, N e O, temos que cada uma dessas partes mede 1/4 da base CD. Portanto, temos que: - O comprimento do segmento CM é 1/4 da base CD. - O comprimento do segmento MN é 1/4 da base CD. - O comprimento do segmento NO é 1/4 da base CD. - O comprimento do segmento OD é 1/4 da base CD. Como os segmentos CM e OD são perpendiculares à base CD, eles são alturas do retângulo ABCD. Portanto, a altura do retângulo ABCD é a soma desses dois segmentos: AB = CM + OD = 1/4 CD + 1/4 CD = 1/2 CD Assim, a área do retângulo ABCD é dada por: Area_ABCD = base x altura = CD x AB = CD x 1/2 CD = 1/2 CD² Já a área do triângulo MPO é dada por: Area_MPO = base x altura / 2 = MO x altura_P / 2 Para calcular a altura do triângulo MPO, é necessário lembrar que o segmento MP é paralelo ao segmento NO e que o segmento OP é paralelo ao segmento CM. Portanto, temos que: - O segmento MP é congruente ao segmento NO. - O segmento OP é congruente ao segmento CM. - O segmento MO é congruente à soma dos segmentos MP e OP. Assim, temos que: MO = MP + OP = NO + CM = 1/4 CD + 1/4 CD = 1/2 CD Além disso, a altura do triângulo MPO é a distância entre o ponto P e a reta MO. Essa distância é igual à altura do triângulo ABC, que é 1/2 AB. Portanto, temos que: altura_P = 1/2 AB = 1/2 (1/2 CD) = 1/4 CD Assim, a área do triângulo MPO é dada por: Area_MPO = MO x altura_P / 2 = (1/2 CD) x (1/4 CD) / 2 = CD² / 32 Por fim, a razão entre a área do retângulo ABCD e a área do triângulo MPO é dada por: Area_ABCD / Area_MPO = (1/2 CD²) / (CD² / 32) = 16 / 2 = 8 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 8.