Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos (centro, vértices, focos e assíntonas) e representar ...

Para obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, é necessário completar o quadrado para x e y. Primeiro, vamos isolar os termos com x e y: 25x² + 100x + 4y² - 8y + 4 = 0 25(x² + 4x) + 4(y² - 2y) = -4 Agora, vamos completar o quadrado para x e y: 25(x² + 4x + 4) + 4(y² - 2y + 1) = -4 + 100 + 4 25(x + 2)² + 4(y - 1)² = 100 Dividindo ambos os lados por 100, temos: (x + 2)²/4 + (y - 1)²/25 = 1 A equação reduzida resultante da translação de eixos é: (x + 2)²/4 + (y - 1)²/25 = 1 Agora, vamos classificar a equação. Como o denominador do termo (x + 2)² é menor que o denominador do termo (y - 1)², a elipse está com o eixo maior paralelo ao eixo y. Além disso, o centro da elipse é (-2, 1). Os vértices da elipse estão localizados nos pontos (h, k ± a), onde h e k são as coordenadas do centro da elipse e a é o comprimento do eixo maior. Portanto, os vértices da elipse são (-2, 1 ± 5). Os focos da elipse estão localizados nos pontos (h, k ± c), onde c é a distância do centro da elipse até o foco. A distância do centro da elipse até o foco é dada por c = sqrt(b² - a²), onde a e b são os comprimentos dos eixos maior e menor, respectivamente. Portanto, os focos da elipse são (-2, 1 ± 3). As assíntotas da elipse são dadas por y - k = ±(b/a)(x - h), onde a e b são os comprimentos dos eixos maior e menor, respectivamente. Portanto, as assíntotas da elipse são y - 1 = ±(5/2)(x + 2). Para representar graficamente a equação, podemos começar desenhando o centro da elipse (-2, 1) e os vértices (-2, 6) e (-2, -4). Em seguida, podemos desenhar os focos (-2, 4) e (-2, -2) e as assíntotas y - 1 = 5/2(x + 2) e y - 1 = -5/2(x + 2). Por fim, podemos desenhar a elipse que passa pelos vértices e focos.