Considere o conjunto de dados abaixo: x: 0 1 2 3 4 y: 1 2 0 1 4 A partir da técnica de interpolação polinomial de Lagrange, avalie as afirmações a ...

Para resolver o problema de interpolação polinomial de Lagrange, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Escrever a fórmula geral de Lagrange para interpolação polinomial: L(x) = Σ(yi * li(x)), onde i = 0, 1, 2, ..., n e li(x) = Π(x - xj) / Π(xi - xj), onde j = 0, 1, 2, ..., n e j ≠ i. 2. Calcular os valores de li(x) para cada i: l0(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) / (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3)(0 - 4) = -x4/24 + 3x3/4 - 13x2/12 + 2x l1(x) = (x - 0)(x - 2)(x - 3)(x - 4) / (1 - 0)(1 - 2)(1 - 3)(1 - 4) = x4/6 - 5x3/3 + 23x2/6 - 4x l2(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 3)(x - 4) / (2 - 0)(2 - 1)(2 - 3)(2 - 4) = -x4/6 + 2x3 - 7x2/2 + 4x l3(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 4) / (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2)(3 - 4) = x4/24 - x3/2 + 13x2/12 - 3x l4(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2)(x - 3) / (4 - 0)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = -x4/24 + x3/4 - 11x2/12 + x 3. Substituir os valores de li(x) e yi na fórmula geral de Lagrange: L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + y2 * l2(x) + y3 * l3(x) + y4 * l4(x) L(x) = 1 * (-x4/24 + 3x3/4 - 13x2/12 + 2x) + 2 * (x4/6 - 5x3/3 + 23x2/6 - 4x) + 0 * (-x4/6 + 2x3 - 7x2/2 + 4x) + 1 * (x4/24 - x3/2 + 13x2/12 - 3x) + 4 * (-x4/24 + x3/4 - 11x2/12 + x) L(x) = 2x3 - 2x2 - 8x + 4 Portanto, a alternativa correta é a letra e) I e III, apenas. A afirmação I é verdadeira, pois o polinômio interpolador de Lagrange para n pontos é de grau n-1. A afirmação III é verdadeira, pois o polinômio interpolador encontrado é P(x) = 2x3-2x2-8x+4. A afirmação II é falsa, pois L2(x) não corresponde a nenhum dos valores de li(x) encontrados.