Determine a matriz de coordenada do vetor b=(-3,12,12) em relação a base B={v1=(-1,3,1), v2=(0,2,4),v3=(1,0,2)}

Para determinar a matriz de coordenadas do vetor b em relação à base B, precisamos encontrar as coordenadas do vetor b em relação a cada um dos vetores da base B. Começando com v1=(-1,3,1): Para encontrar as coordenadas de b em relação a v1, precisamos projetar o vetor b sobre v1. O produto escalar de b e v1 é: b . v1 = (-3, 12, 12) . (-1, 3, 1) = 3 + 36 - 12 = 27 O comprimento de v1 ao quadrado é: ||v1||^2 = (-1)^2 + 3^2 + 1^2 = 11 A projeção de b sobre v1 é: projv1(b) = (b . v1 / ||v1||^2) * v1 = (27 / 11) * (-1, 3, 1) = (-3, 9, 3) As coordenadas de b em relação a v1 são (-3, 9, 3). Agora, vamos encontrar as coordenadas de b em relação a v2=(0,2,4): Para encontrar as coordenadas de b em relação a v2, precisamos projetar o vetor b sobre v2. O produto escalar de b e v2 é: b . v2 = (-3, 12, 12) . (0, 2, 4) = 24 O comprimento de v2 ao quadrado é: ||v2||^2 = 0^2 + 2^2 + 4^2 = 20 A projeção de b sobre v2 é: projv2(b) = (b . v2 / ||v2||^2) * v2 = (24 / 20) * (0, 2, 4) = (0, 2.4) As coordenadas de b em relação a v2 são (0, 2, 4). Por fim, vamos encontrar as coordenadas de b em relação a v3=(1,0,2): Para encontrar as coordenadas de b em relação a v3, precisamos projetar o vetor b sobre v3. O produto escalar de b e v3 é: b . v3 = (-3, 12, 12) . (1, 0, 2) = 6 O comprimento de v3 ao quadrado é: ||v3||^2 = 1^2 + 0^2 + 2^2 = 5 A projeção de b sobre v3 é: projv3(b) = (b . v3 / ||v3||^2) * v3 = (6 / 5) * (1, 0, 2) = (6/5, 0, 12/5) As coordenadas de b em relação a v3 são (6/5, 0, 12/5). Portanto, a matriz de coordenadas do vetor b em relação à base B é: [ -3 0 6/5 ] [ 9 2 0 ] [ 3 4 12/5 ]