Seja T: R32 uma transformação linear e B = {V1, V2, V3} uma base do 3, sendo V1 = (0,1,0), = (1,0,1) e V3 = (1,1,0). Determine T(5, 3,-2), sabendo ...

Para determinar T(5, 3,-2), precisamos encontrar as coordenadas do vetor (5, 3,-2) em relação à base B. Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas de V3 em relação a B. Como V2 = T(V3), temos: V2 = (0,2) = a1V1 + a2V2 + a3V3 Substituindo os valores de V1, V2 e V3, temos: (0,2) = a1(0,1,0) + a2(1,0,1) + a3(1,1,0) Isso nos dá o sistema de equações: a2 + a3 = 0 a1 + a3 = 1 a2 = 2 Resolvendo esse sistema, encontramos a1 = -1, a2 = 2 e a3 = -2. Portanto, as coordenadas de V3 em relação a B são (-1, 2,-2). Agora, podemos encontrar as coordenadas de (5, 3,-2) em relação a B. Para isso, precisamos resolver o sistema de equações: (5, 3,-2) = a1(0,1,0) + a2(1,0,1) + a3(1,1,0) Isso nos dá o sistema de equações: a2 + a3 = 3 a1 + a3 = 5 a2 - 2a3 = -2 Resolvendo esse sistema, encontramos a1 = 3, a2 = 1 e a3 = 2. Portanto, as coordenadas de (5, 3,-2) em relação a B são (3, 1, 2). Finalmente, podemos encontrar T(5, 3,-2) usando as informações fornecidas: T(5, 3,-2) = T(3V1 + V2 - 2V3) = 3T(V1) + T(V2) - 2T(V3) = 3(1,-2) + (3,1) - 2(5,-4) = (-4,-3). Portanto, T(5, 3,-2) = (-4,-3).