Para determinar \( T(5, 3, -2) \), precisamos expressar o vetor \( (5, 3, -2) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B = \{ V_1, V_2, V_3 \} \). Os vetores da base são: - \( V_1 = (0, 1, 0) \) - \( V_2 = (1, 0, 1) \) - \( V_3 = (1, 1, 0) \) Vamos escrever \( (5, 3, -2) \) como: \[ (5, 3, -2) = aV_1 + bV_2 + cV_3 \] ou seja: \[ (5, 3, -2) = a(0, 1, 0) + b(1, 0, 1) + c(1, 1, 0) \] Isso nos dá o sistema de equações: 1. \( b + c = 5 \) (para a primeira coordenada) 2. \( a + c = 3 \) (para a segunda coordenada) 3. \( b = -2 \) (para a terceira coordenada) Substituindo \( b = -2 \) na primeira equação: \[ -2 + c = 5 \implies c = 7 \] Agora, substituindo \( c = 7 \) na segunda equação: \[ a + 7 = 3 \implies a = -4 \] Portanto, temos: - \( a = -4 \) - \( b = -2 \) - \( c = 7 \) Agora, aplicamos a transformação linear \( T \): \[ T(5, 3, -2) = T(-4V_1 - 2V_2 + 7V_3) = -4T(V_1) - 2T(V_2) + 7T(V_3) \] Substituindo os valores de \( T \): \[ T(5, 3, -2) = -4(1, -2) - 2(3, 1) + 7(0, 2) \] Calculando cada parte: - \( -4(1, -2) = (-4, 8) \) - \( -2(3, 1) = (-6, -2) \) - \( 7(0, 2) = (0, 14) \) Agora somamos: \[ (-4, 8) + (-6, -2) + (0, 14) = (-4 - 6 + 0, 8 - 2 + 14) = (-10, 20) \] Portanto, a resposta é: \[ T(5, 3, -2) = (-10, 20) \]