O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: a. 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b. 20 alunos a mais do que...

A resposta correta é a letra E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Para chegar a essa resposta, é necessário utilizar a fórmula de combinação simples, que é dada por C(n,p) = n! / (p! * (n-p)!), onde n é o número de elementos do conjunto e p é o número de elementos que serão escolhidos. Nesse caso, o número de possíveis respostas distintas é dado por C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10. Assim, para garantir que pelo menos um aluno acerte a resposta, é necessário que haja mais de 10 alunos. Somando 10 com cada uma das opções apresentadas, a única alternativa que resulta em um número maior que o número de alunos é a letra E) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.