Desde que as hipóteses sejam satisfeitas, podemos utilizar O Teorema de Gauss para calcular fluxo exterior do um campo vetorial através de uma supe...

Podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior do campo vetorial através da superfície delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2 e z=4. Para isso, precisamos calcular a divergência do campo vetorial F(x,y,z) = (2xy,y² + sen(xy)). Calculando a divergência de F(x,y,z), temos: div(F) = ∂(2xy)/∂x + ∂(y² + sen(xy))/∂y + ∂(y² + sen(xy))/∂z div(F) = 2y + (2y + xcos(xy)) + 0 div(F) = 4y + xcos(xy) Agora, podemos aplicar o Teorema de Gauss: Fluxo exterior = ∫∫(F . n) dS = ∫∫(div(F)) dV Onde dS é o elemento de área da superfície delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=2 e z=4, e dV é o elemento de volume dentro dessa superfície. Integrando a divergência de F(x,y,z) em relação a x, y e z, temos: Fluxo exterior = ∫∫∫(4y + xcos(xy)) dx dy dz Integrando em relação a x, temos: Fluxo exterior = ∫∫(∫(4y + xcos(xy)) dx) dy dz Fluxo exterior = ∫∫(2x²y + sen(xy))|x=0..1 dy dz Fluxo exterior = ∫(∫(2y + sen(y)) dy)|z=0..4 Fluxo exterior = (∫(y²/2 + cos(y))|y=0..2) * 4 Fluxo exterior = (2 + cos(2)) * 4 Fluxo exterior = 8 + 4cos(2) Portanto, a alternativa correta é a letra C) O fluxo exterior é igual a 8.