6Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através da região limitada pelos planos x = 1, x = 3, y = - 1, y = 1, z = 0 e z = 1 do c...

O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada e a divergência desse campo no interior da superfície. No caso da região limitada pelos planos x = 1, x = 3, y = -1, y = 1, z = 0 e z = 1, podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através dessa região do campo vetorial a. Para isso, precisamos calcular a divergência do campo vetorial a no interior da superfície fechada. A divergência de um campo vetorial é dada por: div(a) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z Onde Fx, Fy e Fz são as componentes do campo vetorial a. Calculando as derivadas parciais e somando-as, obtemos: div(a) = 2x + 2y + 2z Agora, podemos aplicar o Teorema de Gauss: ∫∫S a . dS = ∫∫∫V div(a) dV Onde S é a superfície fechada que limita a região, V é o volume delimitado pela superfície e dS é o elemento diferencial de área da superfície. No caso da região em questão, a superfície fechada é formada pelos seis planos que a limitam. Como o campo vetorial a é constante e perpendicular à superfície em todos os pontos, o produto escalar a . dS é constante e igual a |a| vezes a área de cada face da superfície. Portanto, podemos simplificar a integral da esquerda para: ∫∫S a . dS = |a| ∑A Onde ∑A é a soma das áreas das seis faces da superfície. Substituindo os valores, temos: ∫∫S a . dS = 2 ∑A = 2 (2*2 + 2*2 + 2*2) = 24 Por fim, substituindo na equação do Teorema de Gauss, temos: 24 = ∫∫∫V div(a) dV Como a região em questão é um paralelepípedo retângulo, podemos calcular o volume facilmente: V = (3-1) * (1-(-1)) * (1-0) = 4 Substituindo na equação acima, temos: 24 = div(a) * 4 div(a) = 6 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 6.