Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através da região limitada pelos planos x = 1, x = 3, y = - 1, y = 1, z = 0 e z = 1 do ca...

O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência do campo no interior da superfície. Para calcular o fluxo exterior através da região limitada pelos planos x = 1, x = 3, y = -1, y = 1, z = 0 e z = 1 do campo vetorial a, podemos aplicar o Teorema de Gauss da seguinte forma: 1. Calcule a divergência do campo vetorial a: div(a) = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y + ∂az/∂z 2. Como a região é limitada por seis planos, podemos escolher um cubo com arestas paralelas aos eixos coordenados que contém a região. O cubo tem vértices em (1,-1,0), (1,1,0), (1,-1,1), (1,1,1), (3,-1,0), (3,1,0), (3,-1,1) e (3,1,1). 3. O Teorema de Gauss afirma que o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada do cubo é igual à integral tripla da divergência do campo no interior do cubo: fluxo = ∭div(a) dV 4. Como o cubo é simétrico em relação ao plano x = 2, podemos dividir a integral tripla em duas partes: uma para o lado esquerdo do plano x = 2 e outra para o lado direito. Como o campo vetorial a é paralelo ao eixo x, a componente x da integral tripla é zero em ambos os lados. Portanto, podemos calcular apenas as componentes y e z da integral tripla. 5. Para o lado esquerdo do plano x = 2, temos: fluxo_esq = ∭div(a) dV, onde a integral é calculada sobre a região limitada pelos planos x = 1, y = -1, y = 1, z = 0 e z = 1. 6. Para o lado direito do plano x = 2, temos: fluxo_dir = ∭div(a) dV, onde a integral é calculada sobre a região limitada pelos planos x = 3, y = -1, y = 1, z = 0 e z = 1. 7. Como o campo vetorial a é constante em módulo e aponta na direção positiva do eixo x, a divergência do campo é zero em todos os pontos. Portanto, temos: div(a) = 0 8. Substituindo na fórmula do fluxo, obtemos: fluxo_esq = ∭div(a) dV = 0 fluxo_dir = ∭div(a) dV = 0 9. Como o fluxo total é a soma dos fluxos em cada lado, temos: fluxo = fluxo_esq + fluxo_dir = 0 + 0 = 0 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 0.