Sejam ????, ???? ∶ ???? → ℝ contínuas no ponto ????. Suponha que, em cada vizinhança ???? de ????, existam pontos ????, ???? tais que ????(????) < ????(????) e ????(????) > ????...

Este é um problema clássico de análise real. Para provar que ????(????) = ????(????), podemos usar o seguinte argumento: Suponha, por absurdo, que ????(????) ≠ ????(????). Sem perda de generalidade, podemos assumir que ????(????) < ????(????). Como ????(????) é contínua em ????, existe uma vizinhança ???? de ???? tal que ????(????) < ????(????) para todo ???? em ????. Mas, como ????(????) é contínua em ????, existe uma vizinhança ???? de ???? tal que ????(????) > ????(????) para todo ???? em ????. Portanto, existe uma vizinhança ???? de ???? tal que, para todo ???? em ????, temos ????(????) < ????(????) e ????(????) > ????(????), o que contradiz a hipótese do problema. Portanto, concluímos que ????(????) = ????(????).