Sejam Ω um subconjunto aberto de RN e f : Ω → RM diferenciável no ponto x0 ∈ Ω. Seja δ > 0 tal que Bδ(x0) ⊂ Ω e defina Θ : Bδ(0)→ RM pela regra Θ(...

Para mostrar que Θ é diferenciável na origem, precisamos verificar se a derivada de Θ existe na origem. Vamos calcular a derivada de Θ em relação a h na origem. Usando a definição de Θ(h) = f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h, podemos escrever: Θ(h) = f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h Agora, vamos calcular a derivada de Θ em relação a h: Θ'(0) = lim(h → 0) [Θ(h) - Θ(0)] / h Substituindo Θ(h) na expressão acima, temos: Θ'(0) = lim(h → 0) [(f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h) - (f(x0) - f(x0) - f'(x0) * 0)] / h Simplificando a expressão, temos: Θ'(0) = lim(h → 0) [f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h] / h Agora, vamos usar a diferenciabilidade de f no ponto x0 para reescrever a expressão: Θ'(0) = lim(h → 0) [f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0)h] / h Θ'(0) = lim(h → 0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h - f'(x0) Agora, vamos usar a definição de derivada de f no ponto x0 para reescrever a expressão: Θ'(0) = f'(x0) - f'(x0) Simplificando a expressão, temos: Θ'(0) = 0 Portanto, concluímos que Θ é diferenciável na origem.