calcule o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8):

Para calcular o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8), podemos utilizar a fórmula: L = ∫[a,b] √[1 + (dy/dx)^2] dx Onde a e b são os limites de integração, e dy/dx é a derivada de y em relação a x. Primeiro, podemos encontrar a derivada de y em relação a x: dy/dx = (3x^2)/2y Substituindo y^2 por x^3, temos: dy/dx = (3x^2)/(2√x^3) Simplificando, temos: dy/dx = (3/2)√x Agora, podemos substituir na fórmula do comprimento de arco: L = ∫[1,4] √[1 + ((3/2)√x)^2] dx L = ∫[1,4] √[1 + (9/4)x] dx Fazendo a substituição u = 1 + (9/4)x, temos: du/dx = 9/4 dx = 4/9 du Substituindo na integral, temos: L = ∫[10/4,37/4] √u (4/9) du L = (4/9) ∫[10/4,37/4] √u du L = (4/9) [(2/3)u^(3/2)] [10/4,37/4] L = (4/27) [(37/4)^(3/2) - (10/4)^(3/2)] L = (4/27) [27√37 - 10√10] Portanto, o comprimento de arco da parábola semicúbica y^2 = x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8) é aproximadamente 8,77 unidades de comprimento.