Exercício 6 (Propriedade de Aproximação). Seja S ⊆ R um conjunto não-vazio com supremo, digamos s = supS. Mostre que, para todo a < s, existe x ∈ S...

Para provar que, para todo a < s, existe x ∈ S tal que a < x ≤ s, podemos usar a definição de supremo. Como s é o supremo de S, temos que para todo ε > 0, existe um elemento x em S tal que s - ε < x ≤ s. Agora, escolhemos ε = s - a. Como a < s, temos que ε > 0. Então, existe um elemento x em S tal que s - (s - a) < x ≤ s, ou seja, a < x ≤ s. Portanto, para todo a < s, existe x ∈ S tal que a < x ≤ s.