2. Seja A ⊂ R um subconjunto não vazio e limitado superiormente. Mostre que A admite no máximo um supremo. Faça o mesmo para o ı́nfimo de um subc...

Para mostrar que um conjunto A ⊂ R tem no máximo um supremo, é necessário mostrar que se s e t são ambos supremos de A, então s = t. Suponha que s e t são ambos supremos de A. Então, para todo a ∈ A, temos a ≤ s e a ≤ t. Como s é um supremo de A, temos que s é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos de A. Portanto, s ≤ t. Da mesma forma, como t é um supremo de A, temos que t é o menor número real que é maior ou igual a todos os elementos de A. Portanto, t ≤ s. Concluímos que s = t, e assim A tem no máximo um supremo. Para mostrar que um conjunto A ⊂ R tem no máximo um ínfimo, é necessário mostrar que se s e t são ambos ínfimos de A, então s = t. Suponha que s e t são ambos ínfimos de A. Então, para todo a ∈ A, temos s ≤ a e t ≤ a. Como s é um ínfimo de A, temos que s é o maior número real que é menor ou igual a todos os elementos de A. Portanto, t ≤ s. Da mesma forma, como t é um ínfimo de A, temos que t é o maior número real que é menor ou igual a todos os elementos de A. Portanto, s ≤ t. Concluímos que s = t, e assim A tem no máximo um ínfimo.