Exercício 16. Seja {sn} uma sequencia de números reais. Mostre que limn→∞ sn = s se, e somente se, limn→∞(sn− s) = 0. Se {sn} é uma sequência de n...

Para provar que limn→∞ sn = s se, e somente se, limn→∞(sn− s) = 0, podemos usar a definição de limite. Se limn→∞ sn = s, então para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que, para todo n > N, |sn - s| < ε/2. Assim, podemos escrever: |sn - s| = |(sn - s) - 0| < |sn - s| + |s - 0| < ε/2 + ε/2 = ε Portanto, limn→∞(sn− s) = 0. Por outro lado, se limn→∞(sn− s) = 0, então para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que, para todo n > N, |sn - s| < ε. Isso significa que a sequência {sn} converge para s, ou seja, limn→∞ sn = s. Assim, provamos que limn→∞ sn = s se, e somente se, limn→∞(sn− s) = 0.