Exercício 24. Seja an uma sequência de números reais tais que |an+2 − an+1| ≤ 1/2|an+1 − an|, ∀n ≥ 1. Mostre que a sequência {an} converge. Seja a...

Para mostrar que a sequência {an} converge, podemos usar o critério de Cauchy. Para isso, note que: |an+2 - an| = |an+2 - an+1 + an+1 - an| Pela desigualdade triangular, temos que: |an+2 - an| ≤ |an+2 - an+1| + |an+1 - an| Usando a desigualdade dada no enunciado, temos que: |an+2 - an| ≤ 1/2|an+1 - an| + |an+1 - an| Simplificando, temos: |an+2 - an| ≤ 3/2|an+1 - an| Podemos repetir esse processo para obter: |an+3 - an| ≤ 3/2|an+2 - an+1| |an+4 - an| ≤ 3/2|an+3 - an+2| ... |an+k - an| ≤ 3/2|an+k-1 - an+k-2| Somando todas essas desigualdades, temos: |an+k - an| ≤ 3/2(|an+1 - an| + |an+2 - an+1| + ... + |an+k-1 - an+k-2|) Note que a soma dentro dos parênteses é uma soma telescópica, que se cancela quase completamente. Sobram apenas dois termos: |an+k - an| ≤ 3/2(|an+1 - an| + |an+2 - an+1| + ... + |an+k-1 - an+k-2|) |an+k - an| ≤ 3/2(|a2 - a1|) Portanto, para todo ε > 0, podemos escolher N tal que 3/2(|a2 - a1|) < ε/2, e então para todo n, m ≥ N, temos: |an - am| ≤ |an - an+1| + |an+1 - an+2| + ... + |am-1 - am| |an - am| ≤ 3/2(|an+1 - an| + |an+2 - an+1| + ... + |am-1 - am-2|) + |am-1 - am| |an - am| ≤ 3/2(|a2 - a1| + |a3 - a2| + ... + |am-1 - am-2|) + |am-1 - am| |an - am| ≤ 3/2(|a2 - a1|) + |am-1 - am| |an - am| < ε/2 + ε/2 = ε Portanto, a sequência {an} é de Cauchy e, portanto, converge.