Exercício 28 (Teste da Comparação no Limite). Suponha que an > 0 e bn > 0 para todo n = 1, 2, . . . são tais que limn→∞ an/bn = 1. Mostre que ∑an c...

O exercício 28 é um problema clássico de convergência de séries. A partir da hipótese de que limn→∞ an/bn = 1, podemos concluir que as séries ∑an e ∑bn têm o mesmo comportamento assintótico. Se ∑bn converge, então, pelo teste da comparação, temos que ∑an converge também. Por outro lado, se ∑an converge, então podemos escrever: an/bn = (an/1) / bn Como ∑an converge, temos que ∑(an/1) também converge. Além disso, como limn→∞ an/bn = 1, temos que existe um número real positivo M tal que: 0 < M/2 < an/bn < 2M, para todo n suficientemente grande. Assim, podemos escrever: 0 < (M/2)bn < an < (2M)bn, para todo n suficientemente grande. Pelo teste da comparação, temos que ∑bn converge implica ∑an converge. Portanto, ∑an converge se, e somente se, ∑bn converge.